1、山西大学附中2021-2022学年第二学期高一年级4月月考数 学 试 题考查时间：90分钟 满分：100分 考查内容：平面向量、复数、立体几何初步命题人：吴晨晨 审核人：张耀军一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【1题答案】【答案】D【解析】【分析】先求得，即可求得其在复平面内对应点的坐标，即可得答案.【详解】由题意得，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D2. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A. 相交B.
2、 异面C. 相交或异面D. 平行【2题答案】【答案】C【解析】【详解】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.3. 已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】设，将向量的坐标代入中，利用向量的坐标的加法、减法和数乘运算可以得到.【详解】设,因为,所以，所以，所以，解得: ,，所以.故选：D.4. 如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，则平面ABC与平面的交线是（）A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据点与线的位置关系，以及两平面相交的性质，确定交线.【详解】由题意知，Dl
3、，l，D又DAB，D平面ABC，即D在平面ABC与平面的交线上又C平面ABC，C，点C在平面与平面ABC的交线上从而有平面ABC平面CD故选：C5. 若的面积，则外接圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】B【解析】【分析】由三角形的面积公式结合正弦定理即可求解【详解】已知的面积，又所以因为，所以所以所以所以故选：B6. 已知向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】平方后由数量积的运算律求解【详解】，得，得故选：A7. 在中，已知，那么一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【7题答案】【答案
4、】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知的式子转化为边的形式，然后化简可得答案【详解】因为，所以，所以由正余弦定理得，化简得，因为所以，所以为等腰三角形，故选：B8. 下列说法错误的是（ ）A. 一个八棱柱有10个面B. 任意面体都可以分割成个棱锥C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；对于选项B：任意面体，在面体内取一点为，将点与面体的各个顶点连接，即可构成个棱锥，故B说
5、法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误；故选：D9. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为A. 1B. C. 1或D. -1或【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出且，化简后得出，即可求出实数值.【详解】解：由题可知，不共线，且向量与的方向相反，则，即，则，即，解得：或（舍去）即实数的值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.10. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，则
6、该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用三棱柱侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.【详解】三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，.设外接圆的半径为R，则，.外接球的半径为，球的表面积等于.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.11. 锐角中，角、所对的边分别为、，若、，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】D【解析】【分析】先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用锐角三角形排除，从而，利用面积公式求出答案.【
7、详解】由题意得：，故，因为，所以，由余弦定理得：，解得：或，当时，最大值为B，其中，故为钝角，不合题意，舍去；当时，最大值为B，其中，故B为锐角，符合题意，此时.故选：D12. 2022年北京冬奥会开幕式中，当雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程已知图中正三角形的边长为3，则图中的值为（ ）A.
8、 B. C. 6D. 【12题答案】【答案】C【解析】【分析】在图中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算【详解】在图中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， ，即，由分形知，所以，所以，所以故选：C二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知复数，则复数z的模为_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用复数的模的计算公式计算【详解】，,故答案为：14. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是_.【14题答案】【答案】#【解析】【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定
9、理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果.【详解】不妨设，且两两互相垂直，又，平面，平面，.故答案为：.15. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为_m【15题答案】【答案】10【解析】【分析】在中，求得，由正弦定理得到，再在直角中，得到，即可求解.【详解】在中，因为，可得，由正弦定理，可得，在直角中，可得.即塔高为.故答案为：.16. 在锐角中，则的取值范围为_.【16题答案】【答案】【解析】【详解】解：在锐角ABC中，BC=1，B=2A， 2 3 A，且 02A 2 ，故
10、 6 A 4 ，故 cosA 由正弦定理可得 1： sinA = b ：sin2A ，b=2cosA，b 三、解答题（本题共4小题，每题12分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设为虚数单位，复数，.（1）若是实数，求的值；若是纯虚数，求的值；（2）若所对应的向量与所对应的向量是平行向量，求的值.【17题答案】【答案】（1）；. （2）【解析】【分析】（1）利用复数的乘法，除法运算化简和，然后利用实数和纯虚数的定义得到方程（组）求解；（2）根据复数所对应的向量平行的充分必要条件列出方程，求得a的值.【小问1详解】，若是实数，则，解得；，若是纯虚数，则，解得.【小问2详解
11、】 , ，所对应的向量与所对应的向量是平行向量,解得：.19. 如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线SA的中点（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）若AB为底面直径，求圆锥面上P点到B点的最短距离【19题答案】【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用圆锥的侧面积和体积公式，准确计算，即可求解；（2）沿着母线，把圆锥的侧面展开，求得侧面展开图扇形的圆心角为，进而求得点到点的最短距离.【小问1详解】解：因为圆锥的底面半径为4，母线长为8，所以由，解得，所以圆锥的体积为【小问2详解】解：沿着母线，把圆锥的侧面展开，如图所示，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则，可得，所以圆锥面上点
12、到点的最短距离为21. 在；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若_（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长，求的周长的最大值【21题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的结果；若选：根据正弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出的结果；若选：根据面积公式结合已知条件求解出的值，从而求解出的结果；（2）利用余弦定理和的值结合基本不等式，求解出的最大值，由此可求解出周长的最大值.【详解】（1）若选：因为，所以，所以，所以，所以且，所以，所以；
13、若选：因为，所以且，所以，所以，所以，所以且，所以，所以；若选：因为，所以且，所以且，所以；（2）因，所以，所以，所以，所以，所以，取等号时，所以的周长的最大值为：.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到满足的等式，结合基本不等式得到的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将表示为对应角的正弦形式，利用结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值.22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以
14、相互转化，相互渗透而向量正是数与形“沟通的桥梁”在中，试解决以下问题：（1）G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交于点（i）记，请用表示；（ii），求的最小值（2）已知点O是的_，且，求请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）外心（三条垂直平分线的交点）；垂心（三条高的交点）【22题答案】【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）设，得到，由向量的运算法则得到可得，得到；（ii）由题意得到，求得，结合平面向量的共线定理求得，化简，利用基本不等式，即可求解；（2）选，取的中点分别为和，化简得到，结合得和，列出方程组，求得，结合向量的夹角公式，即可求解；选：化简得到，根据和，联立方程组，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：（i）设，由重心的坐标公式得，且，可得，.（ii）因为，其中，所以，则，根据平面向量的共线定理，可得，其中，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为【小问2详解】解：如图所示，当O是的外心时，取的中点分别为和，因， 可得，由O是的外心，可得，可得，即，可得，即，所以，即，所以，则，即.若选：如图所示，即O是的垂心因为，可得，由O是的垂心，则，可得，即，可得，即，联立方程组，可得，即，所以，所以，即.
