1、选修4-4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程最新考纲考情索引核心素养1.了解参数方程及其参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.2018全国卷，T22 2018全国卷，T222017全国卷，T22 2017全国卷，T222016全国卷，T231.数学运算2.逻辑推理1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数_，_ 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数xf（t）yg（t）2参数方程
2、与普通方程的互化通过消去_从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么xf（t），yg（t）就是曲线的参数方程参数3常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)圆x2y2r2xrcos，yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos，ybsin(为参数)1设过点 M(x0，y0)的直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，若直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，注意以下两
3、个结论的应用：(1)|AB|t1t2|.(2)|MA|MB|t1t2|.2在直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为1 时，t 才有几何意义且几何意义为|t|是直线上任一点M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程xf（t），yg（t）中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量()(3)方程x2cos，y12sin 表示以点(0，1)为圆心，
4、以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程x2cos t，y4sin t(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t 3，点O为原点，则直线OM的斜率为 3.()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修44P25例3)曲线x1cos，y2sin(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上(2)(人A选修44P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：xt，yta(t为参数)过椭圆C：x3cos，y2sin(为参数)的右顶点，则常数a的值是_解析：(1)由x1cos，y2sin，得cos x1，sin y2，所以(x1)2(y2)21
5、.曲线是以(1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1，2)，在直线y2x上(2)直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为x29 y241，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3a0，所以a3.答案：(1)B(2)33典题体验(1)若曲线C的参数方程为x1cos 2，ysin2(为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A直线x2y20B以(2，0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2，0)和(0，1)为端点的线段(2)(2018天津卷)已知圆x2y22x0的圆心为C，直线x1 22 t，y3 22 t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为_(
6、3)(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x8t，yt2(t为参数)，曲线C的参数方程为x2s2，y2 2s(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解析：(1)将曲线的参数方程化为普通方程得x2y20，又0 x2，所以曲线C上点的轨迹是一条线段(2)将直线的参数方程化为普通方程，为yx2.联立方程组yx2，x2y22x0，可求得A，B两点的坐标分别为(1，1)，(2，0)故|AB|2.又圆心C到直线AB的距离d 22，故SABC12 2 22 12.答案：(1)D(2)12(3)解：直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2
7、，2 2s)，从而点P到直线l的距离d|2s24 2s8|12（2）22（s 2）245.当s 2时，dmin4 55.因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值4 55.考点 1 参数方程与普通方程的互化(自主演练)1.已知直线 l 的参数方程为xa2t，y4t(t 为参数)，圆 C 的参数方程为x4cos，y4sin(为参数)(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围解：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d|2a|5
8、 4，解得2 5a2 5.所以实数a的取值范围是2 5，2 5 2.圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点 A，B，设 P 点在同一平面上且满足|PA|PB|(0 且 1)，P 点的轨迹是圆”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”已知点 M 与长度为 3 的线段 OA 两端点的距离之比为|OM|MA|12，建立适当坐标系，求出 M 点的轨迹方程并化为参数方程解：由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0，0)，A(3，0)因为|OM|MA|12，即x2y2（x3）2y212，化简得(x1)2y24，所以点M的轨迹是以(1，0)为圆
9、心，2为半径的圆由圆的参数方程可得x2cos 1，y2sin(为参数)1化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法另外，消参时要注意参数的范围2普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出考点 2 参数方程及其应用(讲练互动)典例体验1(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解
10、：(1)曲线C的普通方程为x29 y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由x4y30，x29 y21，解得x3，y0，或x2125，y2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，2125，2425.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离d|3cos 4sin a4|17.当a4时，d的最大值为a917.由题设得a917 17，所以a8;当a4时，d的最大值为a117.由题设得a117 17，所以a16.综上，a8或a16.2.(2019 石 家 庄 调 研)已 知 在 极 坐 标 系 中，点A2，6，B2 3，23，C 是线段 AB 的中点以极
11、点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是x2cos，y22sin(为参数)(1)求点 C 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；(2)设直线 l 过点 C 交曲线 于 P，Q 两点，求CPCQ的值解：(1)将点 A，B 的极坐标化为直角坐标，得 A(3，1)和 B(3，3)所以点 C 的直角坐标为(0，2)将x2cos，y22sin 消去参数，得 x2(y2)24，所以曲线 的普通方程为 x2(y2)24.(2)设直线 l 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，为直线 l 的倾斜角)，代入 x2(y2)24，整理得 t28
12、tsin 120.设点 P，Q 对应的参数值分别为 t1，t2，则 t1t212，CPCQ|CP|CQ|t1t2|12.1在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解2过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，t 的几何意义是P0P 的数量，即|t|表示 P0 到 P 的距离，t 有正负之分对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)，当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题变式训练(20
13、19郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为sin4 2.(1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|PB|.解：(1)由x3cos，ysin 消去参数，得x29 y21，即 C 的普通方程为x29 y21，由 sin4 2，得 sin cos 2，将xcos，ysin，代入得 yx2，所以直线 l 的倾斜角为4.(2)由(1)知，点 P(0，2)在直线 l 上，设直线 l 的参数方程为xtcos 4，y2
14、tsin 4.将x 22 t，y2 22 t，代入椭圆x29 y21，化简得 5t218 2t270，且 1080.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t218 250，所以 t10，t20，所以|PA|PB|t1|t2|18 25.考点 3 参数方程与极坐标方程的综合应用(讲练互动)典例体验1(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2t，ykt(t 为参数)，直线 l2 的参数方程为x2m，ymk(m 为参数)设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴
15、为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos sin)20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径解：(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk(x2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y1k(x2)设 P(x，y)，由题设得yk（x2），y1k（x2），消去 k 得 x2y24(y0)，所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)4(02，)，联立2（cos2sin2）4，（cos sin）20，得cos sin 2(cos sin)故 tan 13，从而 cos2 910，sin2 110.代入 2(cos2sin2)4 得
16、 25，所以交点 M 的极径为 5.2.(2019菏泽模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，0)，曲线 C 的极坐标方程为 cos2 8sin.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 变化时，求|AB|的最小值解：(1)由xtcos，y2tsin 消去 t 得xsin ycos 2cos 0，所以直线 l 的普通方程为 xsin ycos 2cos 0.由 cos2 8sin，得(cos)28sin，把 xcos，ysin 代
17、入上式，得 x28y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x28y.(2)将直线 l 的参数方程代入 x28y，得 t2cos2 8tsin 160，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t28sin cos2，t1t2 16cos2，所以|AB|t1t2|（t1t2）24t1t264sin2 cos4 64cos2 8cos2.当 0 时，|AB|的最小值为 8.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解
18、，能达到化繁为简的解题目的变式训练(2019武汉调研)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为x1t，y2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 221sin2，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知点 P 的极坐标为22，4，求|PA|PB|的值解：(1)l 的普通方程为 xy10.又因为 22sin2 2，所以 x2y2y22，即曲线 C 的直角坐标方程为x22 y21.(2)点 P 的直角坐标为12，12.法一 P12，12 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为x12 22 t，y12 22 t(t为参数)，代入曲线 C 的直角坐标方程得12 22 t 2212 22 t 220，即32t2 22 t540，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|56.法二 y1x，x22y22，3x24x0 x10，x243，所以 A(0，1)，B43，13，所以|PA|01221122 22，|PB|43122131225 26，|PA|PB|22 5 26 56.