1、山西名校20202021学年度高二第一学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，集合，则（ ）ABCD2椭圆的离心率为（ ）ABCD3三张卡片上分别写上字母A、M、N，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词的概率为（ ）ABCD4已知双曲线的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）ABCD5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6B8C10D126“”是“直线与直线互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知直线，圆，则下列
2、说法正确的是（ ）Al与C可能相切或相交Bl与C可能相离或相切Cl与C一定相交Dl与C可能相交或相离8已知直线与抛物线的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段的中点在x轴上，则p=（ ）A2B4CD9函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的单调递减区间是（ ）A，B，C，D，10已知数列的前n项和为，对任意的都有，则（ ）ABCD11点P在椭圆上，的右焦点为F，点Q在圆上，则的最小值为（ ）ABCD12设双曲线的上顶点为A，直线与M交于B，C两点，过B，C分别作，的垂线交于点D若D到点的距离不超过，则M的离心率的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4
3、小题，每小题5分，共20分13抛物线的焦点坐标为_14已知两个单位向量和的夹角为120，则在方向上的投影为_15在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_16已知在长方体中，E是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10分）已知椭圆的离心率为e，长轴为，短轴为（1）若W的一个焦点为，求W的方程；（2）若，求W的方程18（本小题满分12分）已知动点P到点（t为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点P的轨迹上（1）求动点P的轨迹C的方程，并求t的值；（2）在（1）的条件下，已知直线
4、l与轨迹C交于A，B两点，点是线段的中点，求直线l的方程19（本小题满分12分）如图，在长方体中，E为的中点，F为的中点（1）证明：平面；（2）若，求点E到平面的距离20（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，且，平面（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）（1）若，求直线l的方程；（2）求面积的最大值22（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦距为2，其上、下顶点分别为A，B直线与y轴交于点E点P是椭圆上的动点（异于A，B），直
5、线，分别与直线交于点M，N连接，与椭圆C交于点Q（1）求椭圆C的标准方程；（2）设的面积为，的面积为，试判断是否为定值?并说明理由山西名校20202021学年度高二第一学期期末考试数学（理科）参考答案、提示及评分细则1D 由题意知，则2A 因为，所以，故离心率3C 包括的基本事件为：，故恰好排成英文单词的概率为4D由，得5C 这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱组成的组合体，所求几何体的体积6C 若直线与直线互相平行，则，解得或，当时，两直线重合；当时，两直线平行7C 将l方程整理得，发现l恒过点，而点在圆C内部，所以l与C一定相交8B 线段的中点即为直线与x轴的交点，过N作垂直于准线于G因为
6、的中点为F，所以，又，所以，所以，故F即为C的焦点，故9B ，则，的图象关于点对称，所以，解得，因为，所以，令，得，10C 数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以11C 记的左焦点为，则，所以，因为，所以，而，所以的最小值为12D 记，由题意可知，由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设，则，所以，所以，所以因为，所以，即，又，所以13 抛物线开口向上，14 因为，所以在方向上的投影152 ，由正弦定理得，则，所以16 以点A为原点，以，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，故与平面所成角的正弦值为17
7、解：（1）由题意可知，且W的焦点在x轴上，所以，所以W的方程为为（2）因为，所以，故当W的焦点在x轴上时，W的方程为；当W的焦点在y轴上时，W的方程为；18解：（1）由题意知，动点P的轨迹为抛物线，设抛物线C的方程为，则，所以，所以抛物线C的方程为故（2）设点A，B的坐标分别为，可得有，可得，有，可得直线l的斜率为故直线l的方程为，整理为19解：（1）证明：如图，取的中点G，连，为的中点，F为的中点，且为的中点，且四边行为平行四边形，平面，平面，平面（2）由长方体的性质，平面平面，在中，由，可得在中，由，可得设点E到平面的距离为d由，有，可得故点E到平面的距离为20（1）证明：四边形为正方形，
8、又平面，平面，又，平面，平面，平面平面（2）解：平面，平面以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，设平面的法向量为，则令，则，设平面的法向量为，则，令，则，二面角为锐角，二面角的余弦值为21解：由直线l与圆C相交于两点，直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为（1）当时，为等边三角形，由圆C的半径为1，可知圆心到直线l的距离为有，解得故直线l的方程为（2）由圆心到直线l的距离为，可得设的面积为，有设，可得，有可得当时，故面积的最大值为22解：（1）由题意可知，所以，所以，即椭圆C的标准方程为；（2）设直线与y轴交于点，则，所以，即判断t是否为定值，设，则，直线的方程，令，解得，即M坐标为，直线的方程为，令，解得，即N坐标为，直线的斜率，则直线的直线方程为，将直线的方程代入椭圆C的方程，消去y，整理得解得，因为，代入消去，整理得：，所以因为Q，T，M共线，所以，解得，即
