1、第四章 平面向量、数系的扩充与 复数的引入 第四节 数系的扩充与复数的引入最新考纲考情索引核心素养1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示及其几何意义4.能进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2018全国卷，T1 2018全国卷，T12018全国卷，T2 2017全国卷，T32017全国卷，T1 2017全国卷，T22016全国卷，T2 2016全国卷，T21.数学运算2.直观想象1复数的有关概念(1)定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a叫做复数 z 的_，b 叫做复数 z 的_(i 为虚数单位)(2)分类：实部虚
2、部满足条件(a，b 为实数)abi 为实数_abi 为虚数_复数的分类abi 为纯虚数_b0b0a0且b0(3)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi 与 cdi 共轭_(a，b，c，dR)(5)模：向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|_(a，bR)2复数的几何意义(1)复数 zabi一一对应复平面内的点_(a，bR)(2)复数 zabi(a，bR)一一对应平面向量OZ.ac 且 bdac，bda2b2Z(a，b)3复数的运算(1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.z1z2(abi)(cdi)_z1z
3、2(abi)(cdi)_z1z2abicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)(ac)(bd)i(acbd)(bcad)i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ _，Z1Z2 _OZ1 OZ2OZ2 OZ11i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.2(1i)22i；1i1ii；1i1ii.3复数的模与共轭复数的关系：zz|z|2|z|2.4化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提
4、，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.()(2)若 zabi(a，bR)，当 a0 时，z 是纯虚数()(3)复平面内原点是实轴与虚轴的交点()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()解析：(1)虚部为 b，(2)当 a0，b0 时，z 为纯虚数答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 选修 22P106A 组 T2 改编)若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为()A1 B2C1 或 2 D1解析：依
5、题意，有a23a20，a10，解得 a2.答案：B(2)(人 A 选修 22P112A 组 T5 改编)已知(12i)z43i，则 z_解析：因为z43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i，所以 z2i.答案：2i3典题体验(1)(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a()A3 B2 C2 D3解析：因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以 a22a1，解得 a3.答案：A(2)(2017全国卷)复平面内表示复数 zi(2i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：由题意，得 z12i，其在复平面内所对应的
6、点位于第三象限答案：C(3)(2018全国卷)设 z1i1i2i，则|z|()A0 B.12C1 D.2解析：因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i）2i12i122ii，所以|z|1.答案：C考点 1 复数的概念(自主演练)1(2019江西重点中学盟校联考)设 xR，i 是虚数单位，则“x2”是“复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数，得x240，x20，解得 x2，所以“x2”是“复数 z(x24)(x2)i 为纯虚数”的充要条件答案：B2设 i 是虚数单位，若复数
7、 z 满足 zi1i，则复数 z 的实部与虚部的和是()A0 B1C2 D3解析：由复数 z 满足 zi1i，得 z1ii（1i）iii1i.故复数 z 的实部与虚部的和是 112.答案：C3(2017天津卷)已知 aR，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则 a 的值为_解析：因为ai2i（ai）（2i）（2i）（2i）2a1（a2）i5为实数，所以a25 0，解得 a2.答案：24(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足1zR，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z1z2；p4：若复数 zR，则 zR.其中的真
8、命题为()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析：取 zi，则 z21R，但 zR，故命题 p2不正确；取 z1i，z22i，则 z22i，z1z22R，但 z1z2，故命题 p3 不正确，结合选项 B 项正确答案：B1复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点 2 复数的运算(讲练互动)典例体验1(2017全国卷)设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|()A.12B.22C.2D2解析：法一 由(1i)z2i
9、，得 z 2i1i1i，所以|z|2.法二 因为 2i(1i)2，所以由(1i)z2i(1i)2，得 z1i，所以|z|2.答案：C2(2019济南调研)若复数 z 满足 2 zz32i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于()A12i B12iC12i D12i解析：设 zabi(a，bR)，则zabi，所以 2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i，所以3a3，b2，解得a1，b2，所以 z12i.答案：B3(2019江西联考)若复数 z1i1i，z为 z 的共轭复数，则(z)2 019()Ai BiC22 019i D22 019i解析：因为 z1i1i（1i）22i，所以zi
10、.(z)2 019(i)2 019i3i.答案：A1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i.(2)1i1ii.(3)1i1ii.(4)baii(abi)(5)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i(nN*)变式训练1(2018全国卷)12i12i()A4535i B4535iC3545i D3545i解析：12i12i（12i）2（12i）（12i）34i53545i.答案：D2(2016全国卷)若z43i，则 z|z|等于()A1 B1C.4535i D.45
11、35i解析：因为z43i，所以z43i，|z|5，所以z|z|4535i.答案：D3复数1i1i6 2 3i3 2i_解析：原式（1i）226（2 3i）（3 2i）（3）2（2）2i6 62i3i 651i.答案：1i考点3 复数的几何意义典例体验1(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)解析：因为(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又因为复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，所以a10，解得a1.答案：B2(2019南昌一模)若复数z(a1)3i(aR)在复平面内对应的点在直线
12、yx2上，则a的值等于()A1 B2C5 D6解析：因为复数z(a1)3i在复平面内对应的点(a1，3)在直线yx2上，所以3a12，解得a2.答案：B3ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A内心B垂心C重心D外心解析：由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点的距离都相等，则z对应的点是ABC的外心答案：D1.复数 zabi（a，bR）一一对应Z（a，b）一一对应OZ（a，b）.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.变式训练1(2018北京卷)在复平面内，复数11i 的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：因为 11i1i（1i）（1i）1212i，所以其共轭复数为1212i.所以所求复数对应点12，12 位于第四象限答案：D2(2019长沙一中质检)如图，若向量 OZ 对应的复数为z，则z4z表示的复数为()A13i B3i C3i D3i解析：由图形知，点Z(1，1)，所以z1i，所以z4z1i 41i1i4（1i）23i.答案：D