1、北京市五中2020届高三数学4月模拟试题（含解析）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知复数za+i（aR），则下面结论正确的是（ ）A. B. |z|1C. z一定不是纯虚数D. 在复平面上，z对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案【详解】解：，故错误；，故正确；当时，为纯虚数，故错误；虚部为1大于0，在复平面上，对应的点不可能在第三象限，故错误故选：【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题2. 已知集合，且，则集合可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知
2、，对于A：，符合题意.对于B：，没有元素1，所以不包含A；对于C：，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知函数，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,故选A；4. 已知定义域为R偶函数f（x）在0，+）上是增函数，且f（）0，则“不等式f（log4x）0的解集”是“x|0x”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充分且必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合奇偶性，先解对数不等式，再根据包含关系判断充分性与必要性【详解】解：因
3、为定义域为的偶函数在，上是增函数，且，即，即，即，即，或，解之得或，或是的必要不充分条件，故选：【点睛】本题考查简易逻辑、充分条件与必要条件，以及解对数不等式，属于基础题5. 过直线yx上的一点作圆的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于yx对称时，它们之间的夹角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】如图所示，过圆心作垂直直线于点，根据几何性质可知，直线也关于直线对称，解三角形可以求出，即可求出【详解】如图所示，过圆心作垂直直线于点，直线分别与圆相切，切点分别为，根据几何知识可知，直线也关于直线对称，所以直线的夹角为（或其补角）在中，所以，而为锐角，即有，
4、故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，直线与直线之间的夹角的计算，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题6. 关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案【详解】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述， 正确，故选C【点睛】画出函数的图象，由图象可得正确，故选C7.
5、某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，点P在该正方体的棱上
6、.若|PA|+|PC1|，则点P的个数为（ ）A. 6B. 12C. 8D. 18【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义分析可得的轨迹是以、为焦点，长轴，焦距的椭圆，结合正方体的性质分析可得答案【详解】解：根据题意，正方体的棱长是1，则，又由，则的轨迹是以、为焦点，长轴，焦距的椭圆，该椭圆的中心为体对角线的中点，短轴长，而在正方体的棱上，则应是各个平面上的椭圆与正方体的棱的交点，则在满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件，即有12个符合条件的点；故选：【点睛】本题考查椭圆定义以及应用，涉及正方体的几何结构，注意灵活应用椭圆的定义9. 已知数列，其中，且，是方程的实数根，
7、则等于（ ）A. 24B. 32C. 48D. 64【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到，求得，推出，进而可求出，从而可求出结果.【详解】因为，是方程的实数根，所以，又，所以；当时，所以，因此，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.10. 高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课
8、程的学生人数至多（ ）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人
9、数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.二、填空题（每小题5分，共25分）11. 设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为_【答案】3【解析】【分析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.【详解】依题意，得：2aca，即a，所以，离心率故答案为3【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知向
10、量，同时满足条件，的一个向量的坐标为_ .【答案】 （答案不唯一）【解析】【分析】设（x，y），由得：y2x，结合，可得x的范围，进而可得结果.【详解】解：设（x，y），由得：y2x，（1x，2y），由，得：，把y2x代入，得：，化简，得：，解得：，取x1，得y2，所以，（1,2）（答案不唯一）故答案为（1,2）（答案不唯一）【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.13. 已知直线l过抛物线y28x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为_.【答案】；【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，再由是的中点
11、可得的坐标，求出的方程，求出的坐标进而求出的长度【详解】解由题意可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设直线的方程为，作，垂直于准线分别于，由为的中点，所以，即的横坐标，所以，代入抛物线的方程为，所以，所以直线的方程联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，可得，则，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，属于中档题，14. 若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是_.【答案】；【解析】【分析】设三边：、则由三边关系：两短边和大于第三边，把、代入，分和两种情况分别求得的范围，最后综合可得答案【详解】解：设三边：、则由三边关系：两短边和大于第三边，即（1）当时，等价于解二次不等
12、式：，由于方程两根为：，故得解：且，即（2）当时，为最大边，即得，解之得或且即综合（1）（2），得：故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题15. 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）2x22x.若对任意x（，m，都有f（x），则m的取值范围是_.【答案】（，；【解析】【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论【详解】解：因为，时，时，；当，时，由解得或，若对任意，都有，则故答案为：，【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题三、解答题16. 在中，角的对
13、边分别为，（1）求的值；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）先由求出，再由正弦定理，即可求出结果；（2）先由余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得，（2）由余弦定理得，解得或（舍）【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17. 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值； （）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）【解析】【分析】（）根据线线平行得线面平行平面，平面，再根据线面平行得面
14、面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.【详解】（）由底面为平行四边形，知，又因为平面，平面， 所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面 （）连接,因为平面平面，平面平面，所以平面. 则.又因为， 所以平面，则. 故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则， 所以,，为平面的一个法向
15、量.设平面的一个法向量为， 由，得 令，得. 所以. 如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （）结论：线段上存在点，使得平面平面. 证明如下：设，所以. 设平面的法向量为，又因为，所以，即 令，得.若平面平面，则，即， 解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年
16、2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率； （）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求的分布列和数学期望；（）将城镇和农村的人均住房建筑
17、面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小（只需写出结论）.【答案】（）（）见解析（）【解析】【分析】（）随机抽取连续两年数据：共9次，两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次，代入公式即可求概率（）表中同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，共有6次，则可取：0，1，2，3，即可求x的分布列和期望（）根据表中的数据的离散程度，可得 【详解】（）随机抽取连续两年数据：共9次两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件，
18、因此 （）所有可能的取值为：0，1，2，3 随机变量的分布列为0123 （） 【点睛】本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列，数学期望的求法，考查分析，计算能力，属基础题19. 设函数f（x）mexx2+3，其中mR.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：f（x）是偶函数；m1；f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间2，4上有三个零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2），【解析】【分析】（1）若为偶函数，根据可得，此时函数，在单调递减，满足条件，此时，再利用导数即可求得函数极值；若不是偶函数，则，分
19、析在的单调性，不满足条件，所以只满足其中之一，不合题意；（2）令，则有，函数在区间，上有三个零点，等价于直线与曲线在区间，上有三个交点，对函数进行求导，画出其在区间，上的大致图象，利用数形结合法即可求得的取值范围【详解】解：（1）若满足条件是偶函数，则，且函数的定义域为，对恒成立，此时函数，在单调递减，满足条件在单调递减；若不满足，则，所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足，同时满足条件：是偶函数；在单调递减，此时，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，时，函数取到极大值，极大值为（1），时，函数取到极小值，极小值为；（2）令，则有，函数在区间，上有三个零点
20、，等价于直线与曲线在区间，上有三个交点，令，则或，令，则，令，则或，函数在区间，上单调递增；在上单调递减，在，上单调递增，又，（3），（4），画出函数在，上的大致图象，如图所示：，由图可知，当时，直线与曲线在区间，上有三个交点，即函数在区间，上有三个零点，的取值范围为：，【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值与零点，考查了数形结合思想、函数与方程的关系，属于中档题20. 已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y21上任意一点，直线l：x0x+2y0y2与圆（x1）2+y26交于A，B两点，记线段AB中点为N，点F为椭圆C的左焦点.（）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐
21、标；（）证明：|FN|AN|.【答案】（），左焦点的坐标；（）证明见解析【解析】【分析】（）由椭圆方程与椭圆的性质可得焦点坐标，根据椭圆的离心率公式即可求出，（）根据向量的数量积和韦达定理即可证明即为定值利用线段中点为，即可得【详解】解：（）由题意可得，则，椭圆的离心率，左焦点的坐标，（）证明：设，当时，即当时，联立直线与圆方程可得：，则，综上：即为定值线段中点为，【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题21. 在无穷数列中，是给定的正整数，.若，写出，的值；证明：存在，当时，数列中的项呈周期变化；若，的最大公
22、约数是，证明数列中必有无穷多项为.【答案】，；证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】由，结合，可求出，的值；利用反证法证明，假设，由于，证得当时，数列中的项呈周期变化；利用反证法证明数列中必有，再利用综合法证明数列中必有无穷多项为.【详解】解：由，得，.从第四项开始满足，.所以，.证明：反证法：假设，由于，记，则，.则，.由数学归纳法易得，当时，与矛盾.故存在，使.所以数列必在有限项后出现值为的项，故存在，当时，数列中的项呈周期变化.证明：先证数列中必有（反证法）：假设数列中没有，由知数列中必有项，设第一个项是，令，则必有，于是由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数，依次递推，可得是，的因数，因为，所以这与，的最大公约数是矛盾，所以数列中必有；再证数列中必有无穷多项为：假设数列中第一个项为，令，则，若，则数列中的项从开始依次为“，”的无限循环，故有无穷多项为；若，则，若，则进入“，”的无限循环，故有无穷多项为；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个，从而进入“，”的无限循环，故有无穷多项为；综合可知，数列中必有无穷多项为.【点睛】本题主要考查递推数列，合情推理及数列有关的证明，考查分析问题能力，综合性很强，属于难题.