1、四川省雅安中学2019-2020学年高二数学6月月考（期中）试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）1.若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是中去掉那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为，代入进行求解，即可求出结果.【详解】集合，又图中阴影部分所表示为，又 .故选：C【点睛】本题根据图形中阴影部分，求阴影部分所表示的集合，着重考查了图表达集合的关系及运算，考查了数形结合的思想，属于基础题2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解对数不等式和指数不等式得集合，再根据集合的
2、运算得正确选项【详解】由题意，所以，故选：B【点睛】本题考查集合的运算，考查指数函数、对数函数的性质，掌握指数函数、对数函数的单调性是解题关键3.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域和值域分别求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是根据函数定义域和值域的求法求得两集合.4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递增，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知是上的单调增函数，只需根据对数函数的单调性比较，的大小即可得到答案.【详解】因为函数是定义在上
3、的奇函数，当时，单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查函数的性质，对数函数的单调性的应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.5.复数的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的四则运算法则求出该复数，再根据共轭复数的定义即可求出【详解】因为，所以其共轭复数是故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及共轭复数的概念理解，属于容易题6.下列求导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】
4、由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.7.下列说法正确的是（ ）A. “若，则”的否命题为“若，则”B. 命题与至少有一个为真命题C. “，”的否定为“，”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【解析】【分析】由否命题的概念即可判断A，由命题及其否定的关系可判断B，由全称命题的否定方法可判断C，由命题的概念可判断D，即可得解.【详解】对于A，“若，则”的否命题为“若，则”，故A错误；对于B，命题的否定为，故命题与有一个命题为真，故B正确；对于C，“，”的否定为“，”，故C错误
5、；对于D，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题否定及否命题的概念，属于基础题.8.下列命题中的真命题是（ ）A. ，B. 命题“，”的否定C. “直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”D. “”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对各选项逐一判断，利用特殊值判断ABC,利用充分条件与必要条件的定义判断D,即可选出正确答案.【详解】对于选项A，当时，不成立，故A错误；对于选项B，命题“，”的否定是“，”，当不成立，故B错误；对于选项C，当一直线斜率为0，另一
6、直线斜率不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；对于选项D，由方程表示双曲线等价于，即或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确.故选:D【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查了充要条件的概念，考查了学生对概念的理解.9.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项.【详解】当时，所以D选项错误.当时，所以A选项错误.当时，所以C选项错误.所以正确的函数图象为B.故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.10.已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（ ）A. 1B. 2C
7、. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意结合基本不等式可得当时，；由二次函数的性质可得，进而可得，即可得解.【详解】由题意当时，当且仅当时，等号成立；当时，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，当时，为函数在上的最小值，不合题意；当时，为函数在上的最小值，由题意可得，解得；综上，实数的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11.定义在R上的奇函数满足：，且当时，若，则实数m的值为（ ）A 2B. 1C. 0D. -1【答案】B【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，结合函数周期的概念可得是周期为3的周期函
8、数，进而可得，即可得解.【详解】由为奇函数知，即，是周期为3的周期函数，故，即，.故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.12.定义在上函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，可求函数在上单调递减. 由，可得，从而可求不等式的解集.【详解】令，则，由，得，函数在上单调递减. 由，可得，即，又函数在上单调递减，.故不等式的解集为.故选：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.二、填空题（共4小题）13.命题，的否定为_【答案】，或无意义【解析】【分析】由否定的定义
9、求解即可.【详解】命题，的否定为，或无意义故答案为：，或无意义【点睛】本题主要考查了写出特称命题的否定，属于基础题.14.若曲线在点处的切线与直线垂直，则_【答案】-2【解析】【分析】对曲线方程求导，表示点处的切线得斜率，因为切线与直线垂直，由斜率的乘积等于-1构建方程，解得答案.【详解】对求导得，所以点处的切线得斜率由题可知直线的斜率又因为切线与直线垂直，所以故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题.15.半径为2的球内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为_.【答案】【解析】【分析】画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数
10、和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高【详解】解：设圆锥的高是，过球心的一个轴截面如图：则圆锥的底面半径，圆锥的体积，由解得，由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大最大值为：故答案为：【点睛】本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力16.设函数给出下列四个结论：对，使得无解；对，使得有两解；当时，使得有解；当时，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数的值域，可判断的正误；当时，可以否定；考虑时，求得函数的值域，即可判断；当时，结合一次函数的单调
11、性和基本不等式，以及函数的图象，即可判断.综合可得出结论.【详解】对于，可取，则，当时，；当时，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，都有解，故错误；对于，当时，由于对于任意,无解；时，对任意的,至多有一个实数根，故错误；对于，当时，时，单调递减，可得；又时，即有.可得，则的值域为，都有解，故正确；对于，当时，时，递增，可得；当时，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故正确.故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.三、解答题（共6小题）17.已知函数.（）求函数的单调区间；（）若，求的最大值与
12、最小值.【答案】（）单调递增区间为，单调递减区间为 （）最大值为4，最小值为【解析】【分析】（）求出函数的导函数，根据导数与函数的单调性的关系即可求解.（）由（）可知函数在单调递减，单调递增，从而可得函数的最值.【详解】解：（）因为，所以，当即或，当，即，所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.（）由（）可知函数在单调递减，单调递增，所以，又因为，且，所以，故函数最大值为4，最小值为.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性以及最值中的应用，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题.18.若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B（1）求集合A；（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的
13、取值范围【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用十字相乘法将原不等式化为，利用一元二次函数的性质即可求出集合；（2）先利用分式不等式的解法求出集合，根据条件判断出，再列不等式组求出的范围.【详解】（1）原不等式可化为：，解得，所以集合；（2）不等式可化为：，等价于，解得，所以集合，因为是的必要不充分条件，所以，故，解得.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.19.若二次函数满足且.（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（
14、2）存在实数符合题意【解析】【分析】（1）设出二次函数解析式，根据题意，待定系数即可；（2）由（1）求出，根据其对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论.【详解】（1）设，由，（2）由（1）可得当时，在上单增，；当时，在上单减，在上单增，解得，又，故当时，在上单减，解得，不合题意.综上，存在实数符合题意.【点睛】本题考查通过待定系数法求解函数解析式，以及二次函数中的动轴定区间问题的处理；此类问题，通常要对区间和对称轴的位置关系进行分类讨论.20.已知函数是定义域（1，1）上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用在零处有定义的奇函数的性质，可
15、求出的值，再检验即可确定的解析式；（2）先利用函数的解析式可判断其单调性，再根据单调性和奇偶性即可将不等式化为，解出即可【详解】（1）根据题意，函数是定义域（1，1）上的奇函数，则有，则；此时，为奇函数，符合题意，故.（2）先证单调性：设，因为，所以，则有，即函数在（1，1）上为减函数；，解得，即不等式的解集为【点睛】本题主要考查奇函数性质应用，利用解析式判断函数单调性，以及利用函数的奇偶性和单调性解不等式，易错点是定义域的忽视，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题21.已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求和的表达式；（2）判断并证明的单调性；（3）若存在使得不等式成立
16、，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列出两个方程，解出即可；（2）根据函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可证出；（3）先将不等式化为，再换元，令，然后分参转化为，最后求出的最大值，即得实数的取值范围【详解】（1）因为，将换为，代入上式得，由于是偶函数，是奇函数，所以，即，由可解得，（2）在上单调递增证明如下：任取且，因为当时，所以，所以在上单调递增（3）由题意可得，令，由可得，则，即原命题等价于存在使得成立，分离参变量得，只需即可.又因为，所以，即，所以，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查利用函数
17、的奇偶性求函数解析式，利用定义法证明函数的单调性，以及不等式能成立问题的解法应用，意在考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力和转化能力，属于中档题22.已知函数，曲线在点处的切线为.（1）求，的值；（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，通过导数可知，当时，当时，从而可得，可求得，则，得到所求结果.【详解】（1）由得：由切线方程可知：，解得：，（2）由（1）知则时，恒成立等价于时，恒成立令，则.令，则当时，则单调递增， ，使得当时，；时， ，即正整数的最大值为【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.