1、北京市东城区2019-2020学年上学期高二年级期末教学统一检测数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设z=i(2+i)，则=A. 1+2iB. 1+2iC. 12iD. 12i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出【详解】，所以，选D【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误2.设抛物线上一点P到y轴距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A
2、. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】抛物线准线方程为因为到轴的距离为2，所以到准线的距离为3.由抛物线的几何性质可知，到抛物线焦点的距离为3，故选C3.设等差数列的前项和是，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由题, ,故,故.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,包括等和性与 “当为奇数时,”等.属于基础题.4.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可.【详解】椭圆中.故双曲线中有,因为,解得.故选：A【点睛】本题主要考
3、查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.5.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（ ）A. 条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.6.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果
4、.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.8.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若构成公比为的等比
5、数列，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据构成公比为的等比数列可知,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.【详解】由题, .故离心率.故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.9.设等比数列的的前项和是，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化解，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的的公比为，则，所以，即“”是“”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，
6、属基本题.10.在棱长为的正方体中，点在底面内运动，使得的面积为，则动点的轨迹为（ ）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】A【解析】【分析】分析可知动点到弦的距离为定值,再分析所有动点的轨迹与面的交线形状即可.【详解】易得,又的面积为,设到弦的距离为,则为定值.故点在以为中轴线,底面半径为的圆柱的侧面上.故动点的轨迹是平面截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面与该圆柱的截痕为椭圆,又点在底面内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截
7、痕,属于基础题.第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11.已知复数是纯虚数，则实数为_【答案】2【解析】解：因为复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，所以实部为零，即m2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.12.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】代入可求得双曲线的方程,继而求得渐近线方程.【详解】因为双曲线经过点,故.故该双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与渐近线方程,属于基础题.13.在等比数列中，则公比_.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【
8、详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.14.用组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_.【答案】【解析】【分析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为其中一个时,奇数的个数为个.当百位为其中一个时, 奇数的个数为.故共有个奇数.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.15.已知椭圆的左焦点为，若存在过原点的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据可知为直角三角形,再根据直
9、角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点满足再列式求解即可.【详解】由题, 为直角三角形,故.故原题转化为椭圆上存在一点满足.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长,故.故.故离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，.数列满足，且为等差数列.（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】（），.（），.【解析】【分析】()设公比为,公差为,再利用基本量法求
10、解即可.()由()可知,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.【详解】解：()设等比数列的公比为,等差数列的公差为.因为,所以.解得或（舍）. 又因为,成等差数列,所以.解得.所以,. ()由()知,.因此数列的前项和为,所以,数列的前项和为,.【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.17.已知向量，.（）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（）实数和的值分别为和.（）【解析】【分析】()根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.()根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：()因
11、为,所以.且因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.()因为向量与向量，共面,所以设（）.因为, 所以 所以实数的值为.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（）见解析（）见解析（）【解析】【分析】（）以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,再证明即可.（）同（）,证明与平面的法向量垂直即可.（）分别计算平面与平面的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.【详解】解：（）因为平面,
12、所以,且底面为正方形,所以.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则,.,.所以. （）由（）知,.且,所以平面.所以是平面的法向量.因为,且平面,所以平面.（）设平面的法向量为,则 即令,则,.于是.平面的法向量为.设平面与平面所成二面角（锐角）为,则.所以平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行的方法,同时也考查了利用空间直角坐标系求解二面角夹角的问题,属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线分别交直线于点.（）求椭圆的标准方程；（）求
13、线段的最小值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据题意列出关于的等式再求解即可.（）设直线方程为,再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标,利用韦达定理可得,再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（） 解得.所以椭圆的标准方程为.（）显然直线斜率存在.设过点点的直线方程为.（,否则直线与直线无交点.）直线与椭圆的交点为.由得.恒成立.则,.所以.令.直线方程为,令,.所以. 当时,.当且仅当时,即时取“” . 当时,.当且仅当时取“”.此时.综上,线段的最小值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程求点的坐标,并表示所求量的参数关系,再利用基本
14、不等式求最值的问题.属于难题.20.定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.（）已知等比数列（）满足：，判断数列是否为“数列”；（）设为正整数，若存在“数列”（ ），对任意不大于的正整数，都有成立，求的最大值.【答案】（）数列是“数列”（）5【解析】【分析】（）利用基本量法, 设等比数列的公比为再根据 “数列”的定义辨析即可.（）先证明对于时,不存在对应的,再分布求解当时均存在“数列”满足条件即可.【详解】解：（）设等比数列的公比为.因为等比数列满足,所以.解得.又因为,所以.得或.满足首项为,公比为正数,所以数列是“数列”（）对于时,因为对任意不大于的正整数,都,即.取,有,且,即且.所以且即 ,无解.所以不存在满足题意的.因此所求的最大值小于.对于时,找到满足,解不等式组 解得 所以,存在满足题意.即存在“数列”（ ）,满足题意,综上的最大值等于.【点睛】本题主要考查了数列新定义的应用,需要根据所给的定义判断数列是否满足.同时也考了数列中不等式成立的问题,属于难题.
