1、江苏省十一校2021-2022学年高二下学期阶段联测数学试卷考试时间120分钟 总分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.【详解】设为空间坐标原点，故选：B2. 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（ ）A. 20B. 16C. 10D. 6【答案】B【解析】【分析】利用间接法，先求总的选2人担任正副组长的选法，再减去当副组长的情况，即为所求【
2、详解】不考虑限制条件5人中选2人担任正副组长有种选法，若a当副组长，有种选法，故a不当副组长，有 (种)选法.故选：B3. 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A. 540B. C. 162D. 【答案】D【解析】【分析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项【详解】的展开式中各项系数之和为，解得 所以的通项公式为： 当时，为常数故选：D4. 已知，且事件A、B相互独立，则（ ）A. 0.18B. 0.5C. 0.3D. 0.9【答案】A【解析】【分析】由概率的乘法公式求解作答.【详解】由题意得.故选：A5. 已知随机变量，且，则的值为（
3、）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】解：，故选：C.6. 展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二项定理得出展开式中的系数，再结合组合数的性质即可求解；【详解】由题意可知，展开式中的系数为.所以原式的展开式的系数为：故选：D.7. 盒中有3个红球，4个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，
4、事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，故选：B8. 已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为一个数为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】该问题等价于：一个数据为零，每次加或者减，经过6次后，结果还是零的问题.则每次都有加1或者减1两种选择，共有种可能；要使得结果还是零，则只需6次中出现3次加1，剩余3次为减1，故满足题意的可能有：种可能.故满足题意的概率.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解
5、，属基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下面四个结论正确的是（ ）A. 空间向量，（，），若，则B. 若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D. 任意向量，满足【答案】ABC【解析】【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空间基底的定义判断；D.根据与 共线，与 共线判断.【详解】A.空间向量，（，），若，则，所以，故正确；B. 若对空间中任意一点O，有，且，则P、A、
6、B、C四点共面，故正确；C.因为是空间的一组基底,所以不共面，则也不共面，又，所以不共面，则也是空间的一组基底，故正确；D.因为与 共线，与 共线，又，是任意向量，所以 与 不一定相等，故错误；故选：ABC10. 为研究需要，统计了两个变量x，y的书籍情况如表：xy其中数据，和数据，的平均数分别为，并且计算相关系数，回归方程为，则（ ）A. 点必在回归直线上，即B 变量x，y正相关C. 当，则必有D. 【答案】AD【解析】【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质逐个分析判断即可【详解】对于A，因为样本中心点必在回归直线上，所以，所以A正确，对于B，因为相关系数，所以变量x，y负相关，所以B错
7、误，对于C，因为点不一定在回归直线上，所以当，不一定有，所以C错误，对于D，因为相关系数，所以，所以D正确，故选：AD11. 已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. 随机变量满足，则C. D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的期望和方差可判断A选项；利用期望的性质可判断B选项；利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项；【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，随机变量满足，则，B错；对于C选项，由正态密度曲线的对称性可知，C对；对于D选项，若，则，则，D对.故选：ACD.12. （多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲
8、盒中随机取出一球放入乙盒用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）A. 事件B与事件C是互斥事件B. 事件A与事件C不是独立事件C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.【详解】对于A：事件B与事件C能同时发生，事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；对于B：事件A发生与否与事件C有关，故B正确：对于C：，故C正确；对于D：，所以，故D正确
9、故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_【答案】【解析】【分析】由超几何分布期望公式直接求解即可.【详解】由题意知：.故答案为：.14. 已知单位向量，满足，则_【答案】#【解析】【分析】先由题设得，两边平方结合数量积的运算律即可求解.【详解】由题意知：，可得，即，又，则，解得.故答案为：.15. 现有甲乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲乙两类均被选到的方法共有种_.(用数字填写答案)【答案】36【解析】【分析】利用计数原理可得甲乙两类均被选到的方法共有；【详解】甲乙两类均被选到分两种情况：（1）
10、甲类选2个，乙类选1个，即；（2）甲类选1个，乙类选2个，即；所以总数共有：，故答案为：.16. 男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按
11、规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛则本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排_场比赛【答案】30【解析】【分析】分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自比赛场次,加起来能求出组委会共要安排多少场比赛.【详解】根据赛制,小组赛共安排比赛场比赛，附加赛共安排82=4场比赛，四分之一决赛共安排82=4场比赛，半决赛共安排42=2场，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌,组委会共要安排:184十422=30场比赛.故答案为：30四、解答题：本大
12、题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图所示，在正方体中，点M，N分别在和DB上，且，（1）求线段MN的长；（2）求直线和平面DMN所成角的大小【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知将求出，再求其模长即可；（2）将与平面DMN的法向量求出，利用向量法求解线面所成角即可.【小问1详解】以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，.因为点M在上，设，所以.因为点N在DB上，设，所以，因为，所以，解得，所以，所以.【小问2详解】设为平面DMN的法向量，因为，由，得，取，所以为平面DMN的一个法向量.记直线和平面DMN所成角为，因
13、为，所以，所以直线和平面DMN所成角为.18. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：元24568元3040605070（1）求出线性回归方程；（2）当广告费支出为12（元）时，求销售额y的线性回归估计值附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1） （2）95.5（元）【解析】【分析】（1）先求出，结合公式求出即可得线性回归方程（2）将代入线性回归方程求出即可【小问1详解】设线性回归方程为易得， -3-1013-20-1010020，所以【小问2详解】当时，故当广告费支出为12（元）时，销售额y的线性回归估计值为95.5（元）19. 甲、乙两名运
14、动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.（1）求甲获胜的概率；（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.(2)列出的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望.【小问1详解】记甲获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，所以答：甲获胜的概率为【小问2详解】可能取值是3、4、5，所以345则20. 2022年北京冬奥会开幕式于2月4日在国家体育馆举行，北京成
15、为了历史上首个同时举办夏奥会与冬奥会的“双奥城市”，冬奥会上，各种炫酷的冰雪运动项目在青少年中掀起了一股冰雪运动热潮为了了解某班学生喜爱冰壶项目是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱冰壶运动不喜爱冰壶运动总计男生15女生20总计50已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱冰壶运动的学生的概率为0.6（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关？附：，其中0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析 （2）能在犯错误的概率不超过
16、0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关【解析】【分析】（1）根据题设条件可得完整的列联表.（2）根据公式可求的值，对照临界值表可得相应的结论.【小问1详解】因为喜爱冰壶运动的学生的概率为0.6，故喜爱冰壶运动的学生的人数为30人，故补充完整的列联表如下：喜爱冰壶运动不喜爱冰壶运动总计男生101525女生20525总计302050【小问2详解】由，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱冰壶运动与性别有关21. 如图，四棱雉的底面为直角梯形，平面（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求出点A在平面上的投影M的坐标【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）以D点为原点， ，
17、分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式求解即可，（2）设，则，表示出，然后由，列方程组可求出结果【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为，所以，两两垂直，所以以D点为原点，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以异面直线与所成的角的余弦值为【小问2详解】设，则又，由，得，解得所以22. 法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.（1）假设面包师说法是真实的，从面包师出售的面包中
18、任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由附：若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量若，则
19、，；通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.可求得；.从而可求得的分布列和其数学期望.（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.由附，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.可求得这25个数据的平均值为，而由由附数据知，由附知，事件“”为小概率事件，可得结论.【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.；.所以分布列为：012P所以（个）.（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.根据附，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，这25个数据的平均值为，由附数据知，由附知，事件“”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎.【点睛】本题考查概率统计知识的应用，关键在于理解概率统计中的量的含义，与实际生活中的数据建立联系，属于中档题.
