1、第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布考情展望1.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值、方差的求解.2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.3.考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义一、离散型随机变量的均值与方差及其性质1定义：若离散型随机变量X的分布列为P(xi)pi，i1,2，n.(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)方差：称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)(3)两点分布与二
2、项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)求均值、方差的方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解二、正态分布1正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态曲线2正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(
3、x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(，2)3正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散4正态总体三个基本概率值(1)P(X)0.682_6；(2)P(2X2)0.954_4；(3)P(3X3)0.997_4.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲
4、线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(xa)，P(Xa)P(Xa)1已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)()A0.16B0.32C0.68D0.84【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4)10.840.16.【答案】A2已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4 C1 D1【解析】E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.【答案】A3设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45【
5、解析】XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，【答案】A4某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，则y的值为_【解析】依题意得即由此解得y0.4.【答案】0.45(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A. B2 C. D3【解析】把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可E(X)123，选A.【答案】A6(2013湖北高考)如图1091，将一个各面图1091都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值
6、E(X)()A. B. C. D.【解析】先求出随机变量X的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0123.【答案】B考向一 195正态分布设随机变量XN(3,1)，若P(x4)p，则P(2x4)()A.p B1p C12p D.p【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解【尝试解答】随机变量XN(3,1)，观察图得，P(2X4)12P(X4)12p.【答案】C规律方法11.求解本题关键是明确正态曲线关于x3对称，且区间2，4关于x3对称.2.解决此类问题，首先要确定与的值，然后把所求问题转化到已知
7、概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x对称的区间上概率相等，而且把一般的正态分布转化为标准正态分布.对点训练如果随机变量N(1，2)，且P(31)0.4，则P(1)等于()A0.4B0.3C0.2D0.1【解析】因为P(31)P(11)0.4，所以P(1)0.1，选D.【答案】D考向二 196离散型随机变量的均值与方差(2014广东百所高中联考)为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直
8、接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数，试写出的分布列，并求的数学期望【思路点拨】(1)分两种情况：一是答对三道，二是前三道答对二道，第四道答对；(2)的可能取值为3,4,5，利用独立重复试验与相互独立事件求取值所对应的概率【尝试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3，选手甲答4道题进入决赛的概率为C2，选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P；(2)依题意，的可取取值为3、4、5，则有P(3)33，P(4)C2C，P(5)C2C22，因此，有345PE345.规律方法2求离散型随机
9、变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解.(2)若随机变量XB(n，p)，则可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解.对点训练为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位：千克)情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图1092中从左至右前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.图1092(1)求该校报考体育专业学生的总人数n；(2)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设表示体重超过60千克的学生人数，求的分布列和数学期望【尝试解答】(1)设该校报考体
10、育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，解得p10.125，p20.25，p30.375.又因为p20.25，故n48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为pp3(0.03750.0125)5.所以服从二项分布，P(k)Ck3k，k0,1,2,3随机变量的分布列为：0123p则E0123.考向三 197期望与方差在决策中的应用小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学
11、期望(3)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由【思路点拨】(1)利用独立重复试验与互斥事件的概率知识解决；(2)确定X的可能值，求出相应的概率，可得随机变量X的分布列及数学期望；(3)比较两路线遇红灯的数学期望即可做出判断【尝试解答】(1)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)C3C2(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2)随机变量X的分布列为：X012PEX012(3)设选择路线1遇到红灯次数为Y，则YB，所以EY3因为EXEY，所以选择路线1上学最好规律方法31.解决此类题目的关键
12、是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列.2.随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定.对点训练(2013福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为
13、X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解】(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)1，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(
14、2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大规范解答之二十四离散型随机变量的均值求解指南第一步：理清题意，分析条件与结论，确定所求事件，求出相应的概率值；第二步：确定随机变量的所有可能取值，注意变量取值的准确性；第三步：根据条件及概率类型，求每一个可能值所对应的概率；第四步：列出离散型随机变量的分布列，利用分布列的性质进行检验是否准确；第五步：利用均值和方差公式求值1个示范例1个规范练(12分)某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5
15、102015根据上表信息解答以下问题：(1)从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；(2)从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.【规范解答】(1)记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则P(A)，5分即两人答对题目个数之和为4或5的概率为6分(2)依题意可知X的可能取值分别为0,1,2,3.则P(X0)，7分P(X1)8分P(X2)，9分P(X3)，10分从而X的分布列为：X0123P故X的数学期望EX0123.12分【名师寄语】(1)解答本题的关键是正确确定随机变量X的取值并求出相应的概率，注意分类
16、讨论思想的应用.(2)分布列中某一栏的概率如果比较复杂，可不求而改由利用分布列的性质p1p2pn1求解比较方便，否则也可用此性质检验各概率的计算有无错误.(2013课标全国卷)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产
17、品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800)，所以以X的分布列为X400500800PEX400500800506.25.