1、第2课时组合数的性质及应用学 习 任 务核 心 素 养1理解组合数的性质，并会运用组合的概念，解决简单的实际问题(重点)2能解决简单的排列、组合的综合问题(难点)通过组合解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养某国际会议中心有A、B、C、D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？提示先从5种不同功能的会议室中选3个，有C种方法，再分别从每种具有同一功能的4种型号的会议室中选2个，分别有C种方法，故会
2、议中心的工作人员有C32 160种安排会议室的方法知识点组合数的性质1C；2CCC拓展：(1)性质1反映了组合数的对称性其组合意义是从n个不同的对象中任取m个对象的组合与任取(nm)个对象的组合是一一对应的从n个不同对象中取出m个对象后，就剩下(nm)个对象，因此从n个不同对象中取出m个对象的方法，与从n个不同对象中取出(nm)个对象的方法是一一对应的，二者的取法是一样多的，反过来也一样因此从n个不同对象中取出m个对象的组合数C等于从n个不同对象中取出(nm)个对象的组合数C，也就是CC(2)性质2的正用、逆用及变形使用：正用时是“合二为一”，逆用时则是将组合数C拆为两个；性质2还可变形为CC
3、C，在一些题目中可简化求和1若CC，则x的值为()A2 B4C0 D2或4D由CC可知x2或x624故选D2CC的值为_84CCC84 类型1组合数的性质【例1】计算：(1)CCC；(2)CCCCCC；(3)CC(n0，nN)解(1)原式CC1564 9505 006(2)原式2(CCC)2(CC)232(3)原式CC(n1)nn2n性质“CC”的意义及作用1(1)化简：CCC_；(2)已知CCC，求n的值(1)0原式(CC)CCC0(2)解根据题意，CCC，变形可得CCC，由组合数的性质，可得CC，故87n1，解得n14 类型2有限制条件的组合问题【例2】高二(1)班共有35名同学，其中男生
4、20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？思路点拨可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决解(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的选法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C5 984种或者CCC5 984种不同的选法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名
5、，有CC2 100种不同的选法有2 100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方法NCCC2 1004552 555种不同的选法有2 555种(5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的选法有6 090种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解2“抗击疫情，众志成城”，某医
6、院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？解(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法法一：按选取的内科专家的人数分类：选2名内科专家，共有CC种选法；选3名内科专家，共有CC种选法；选4名内科专家，共有CC种选法根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法法二
7、：不考虑是否有内科专家，共有C种选法，考虑选取1名内科专家参加，有CC种选法；没有内科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185(种)抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有内科专家参加，有C种选法；有1名内科专家参加，有CC种选法；有2名内科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115(种)抽调方法 类型3分组分配问题1把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？提示共1种分法因为三堆无差异2若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？提示共有A3216种分法【例3】(对接教材P20例5)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲
8、、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本思路点拨(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”解(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC90种(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，
9、设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA360种方法；“1、1、4型”，有CA90种方法所以一共有9036090540种方法(变条件)9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人3本；(2)分为三组，每组
10、3本；(3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；(5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本；解(1)这是均匀编号分组问题第一步：从9本书中选3本给甲，有C种选法第二步：再从其余的6本书中选3本给乙，有C种选法第三步：从余下的3本书中选3本给丙，有C种选法根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有CCC1 680(种)(2)这是均匀不编号分组问题先将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱先放1号箱，有C种放法；再放2号箱，有C种放法；最后把剩下的3本放入3号箱，有C种放法因此共有CCC种放法由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的
11、，因此会出现重复的分法，应用缩倍法，重复的是3个箱子的排列顺序，应除以箱子的全排列数，即CCCA280故共有280种不同的分配方法(3)这是非均匀不编号分组问题同(2)中思路，第一步共CCC种放法由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不会出现重复的分法，因此共有1 260种不同的分配方法(4)这是非均匀编号问题在(3)的基础上再进行全排列，所以不同的分配方法共有CCCA7 560(种)(5)这是部分均匀不编号分组问题同(2)中思路，第一步共CCC种放法这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺
12、序，因此应除以这2个箱子的全排列数，即CCCA378故共有378种不同的分配方法分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种1完全均匀分组，每组的元素个数均相等2部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象3将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)36分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种所以满足条件的分配方案有A36(种)1某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女
13、生，则不同的选法有()A120种 B84种 C52种 D48种C间接法：CC52种25个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()AA种 B45种 C54种 DC种D由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种3某校在某次考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组阅一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是()A216 B420 C720 D1 080D6人按2,2,1,1分成4组共有种不同的分组方案，所以共有A241 080种分配方案4方程CC的解为
14、_4或6由题意知或解得x4或65CCCC的值等于_7 315原式CCCCCCCCCCC7 315回顾本节内容，自我完成以下问题：1你有解决组合问题的基本思路吗？试总结一下提示思路内容整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理局部分步整体分类后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理先选后排如果是排列与组合的综合问题，要遵循先选后排的策略辩证看待“对象”与“位置”在排
15、列、组合的问题中对对象与位置没有严格的界定标准，把哪些事物看成对象或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定复杂问题抽象成模型对待一些具体问题时，有时需要把它们抽象成相应的模型，将已知条件推广到一般情况来解决，利用类比、化归等数学思想来解题2分组、分配问题的常见形式及处理方法有哪些？提示将n个不同对象分成m组，且每组的对象个数分别为m1，m2，m3，mm，记NCm1nCm2nm1Cm3n(m1m2)Cmmn(m1m2mm1)(1)非均匀不编号分组：n个不同对象分成m组，每组对象数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N(2)均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号(即无序)的m组，其分法种数为(3)部分均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为如果再有k组均匀分组，应再除以A(4)非均匀编号分组：n个不同对象分成m组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为NA(5)均匀编号分组：将n个不同对象均匀分成有编号(即有序)的m组，其分法种数为N(6)部分均匀编号分组：n个不同对象分成有编号的m组，其中有r组对象个数相等，其分法种数为A