1、太原市20202021学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）考试时间：上午8：009：30说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分一、选择题（本题共12小题，每小题3分，36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1命题“若，则”的否命题是A若，则B若，则C若，则D若，则2已知抛物线的焦点为，则p=A4B2C1D3已知空间两点，则线段的中点坐标是ABCD4已知，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5双曲的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为AB2CD6已知平面的一个法向量为，且，则下列结论正确的是AB，垂足为AC，
2、但不垂直D7已知命题，的否定是真命题，那么实数a的取值范围是ABCD8已知，则的最小值是A1BCD9从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点若（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为ABCD10设正方体的棱长为a，与相交于点O，则ABCD11已知曲线，则下列结论正确的是当时，曲线E表示双曲线焦点在x轴上；当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；当时，曲线E围成图形的面积的最小值为ABCD12已知，（），那么点M到平面的距离为ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13命题“存在实数，使得2“大于3”用符号语言可
3、表示为_14已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_15已知抛物线的焦点为F，M是C上一点，FM的延长线交x轴于点N若M为的中点，则=_16如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，点D在上，且，则与平面所成角的正弦值为三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题8分）已知命题；（1）若，写出命题“若P则q”的逆否命题，并判断真假；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（本小题10分）如图，三棱柱的所有棱长都相等，点H为的重心，的延长线交于点N，连接设，（1）用a，b，c表；（2）证明：19（本小题10分
4、）已知抛物线，斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A、B两点，且（1）求抛物线C的方程；（2）若点在抛物线C上，证明点P关于直线的对称点Q也在抛物线C上20（本小题10分）说明：请考生在（A），（B）两个小题中任选一题作答（A）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，（1）设点M为的中点，求异面直线，所成角的余弦值；（2）求二面角的大小（B）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，设点M为的中点（1）若四棱锥的体积为2，求异面直线，所成角的余弦值；（2）若二面角的余弦值为，求的长21（本小题10分）说明：请考生在（A），（B）两个小题中任选一题作答（A）已知圆，点P为圆O上的动点，
5、轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设直线与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求面积的最大值（B）已知圆，点P为圆O上的动点，轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：为定值20202021学年第一学期高二年级期末考试数学理科参考答案与评分建议一、选择题题号123456789101112答案CBAADDCBCCBA二、填空题13，1415316三、解答题17（1）当时，逆否命题为：若或，则它是一个真命题（2）因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所
6、以，且等号不能同时取到，解得，所以有实数a的取值范围为18（1）因为为正三角形，点M为的重心，所以N为的中点，所以，所以（2）设三棱柱的棱长为m，则，所以19（1）由已知，设直线l为代入，得显然，设，则，则由抛物线的定义，得，解得，则有抛物线C的方程为（2）因为在抛物线C上，所以有设点P关于直线的对称点的坐标为则，解得，又因为，所以点Q在抛物线C上20A（1）由已知，如图，以A为原点建立空间直角坐标系则，则，则，所以异面直线，所成角的余弦值为（2）设平面的一个法向量为，由，得，可取；设平面的一个法向量为，由，得，可取则，所以二面角的大小为B（1）由已知，如图，以A为原点建立空间直角坐标系则，又，得，则，则，则，所以异面直线，所成角的余弦值为（2）设，平面的一个法向量为，由，得，可取；设平面即平面一个法向量为，由，得，可取则有，解得所以21A（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，所以有，因为点P在圆上，所以则有，即，所以曲线E的方程为（2）由，有，显然，设，则，则有|设与直线l平行的直线与曲线E相切，则由，有，由解得舍去）则直线l，之间的距离，所以面积的最大值为B（1）设点M的坐标为，点P的坐标为，则有，所以有，因为点P在圆上，所以则有，即，所以曲线E的方程为（2）由，有，显然，设，则，设，则，又点N在曲线E上，则，又，则，所以为定值