1、第九章 解三角形91正弦定理与余弦定理91.1正弦定理最新课程标准：1.掌握正弦定理及基本应用(重点)2.会判断三角形的形状(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数(难点、易混点)知识点一正弦定理知识点二解三角形(1)一般地，我们把三角形的_及其_分别叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求_的过程叫做解三角形利用正弦定理解三角形需要哪些条件？提示需要两角和一边或两边和其中一边的对角基础自测1在ABC中，已知a3，b5，sin A.则sin B()A. B.C. D12在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B30，b2，则的值是()A2 B3C4 D63在ABC中，角A，B
2、，C所对应的边分别为a，b，c，如果A30，B45，b2，那么a等于()A. B.C. D34在ABC中，若，则B的大小为_题型一已知两角及一边解三角形例1(1)在ABC中，已知c10，A45，C30，求a，b；(2)在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.方法归纳已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边跟踪训练1在ABC中，a5，B45，C105，求边c.题型二已知两边及一边的对角解三角形例2在
3、ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a1，b，A30；(2)a，b1，B120.方法归纳已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论跟踪训练2已知ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a2，c，C；(2)a2，c，A.题型三利用正弦定理判断三角形的形状1.已知ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助ABC的外接圆推导出正弦定
4、理提示如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90 ，BACBDC，在RtBCD中，BCBDsinBDC，所以a2Rsin A，即2R，同理2R，2R，所以2R.2根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？提示利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和其中一角的对边解三角形3由可以得到a:b:csin A:sin B:sin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？提示(1) ， ， .(2) ， ， .(3)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.例3在ABC中，若sin A2
5、sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状A (BC)；边角转化，sin A ，sin B ，sin C .【解】方法一：在ABC中，根据正弦定理：2R(R为ABC外接圆的半径)sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2，A90，BC90，由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos(90B)，sin2B.B是锐角，sin B，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二：在ABC中，根据正弦定理，得sinA，sin B，sin C(R为ABC外接圆的半径)sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A9
6、0.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.BC0，即BC.ABC是等腰直角三角形方法归纳依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解跟踪训练3已
7、知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状教材反思1本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导2本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)2R(其中R为ABC外接圆的半径)；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)；(4)在ABC中，sin Asin BABab.3要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角(3)判断三角形的形状4本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况(2)在
8、判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”.第九章解三角形91正弦定理与余弦定理91.1正弦定理新知初探自主学习知识点一所对角的正弦知识点二(1)三个角对边(2)其他元素基础自测1解析：由正弦定理可得，sin B，故选B.答案：B2解析：由正弦定理可得4.故选C.答案：C3解析：根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a的值由正弦定理可知：，所以，解得：a，故选A.答案：A4解析：由正弦定理知，sin Bcos B，B45.答案：45课堂探究素养提升例1【解】(1)方法一：A45，C30，B180(AC)105.由得a10.sin 105sin 75sin (3045)si
9、n 30cos 45cos 30sin 45，b2055.方法二：设ABC外接圆的直径为2R，则2R20.易知B180(AC)105，a2Rsin A20sin 4510，b2Rsin B20sin 1052055.(2)A180(BC)180(6075)45.由正弦定理，得b4.由，得c4(1)跟踪训练1解：由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555()例2【解】(1)根据正弦定理，sin B.ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30A，ca1.(2)根据正弦定理，sin A1.因为sin A1.所以A不存在，即无解跟踪训练2解：(1)，sin A.ca，CA.A.B，b1.(2)，sin C.又ac，C或.当C时，B，b1.当C时，B，b1.跟踪训练3解：设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcos Aacos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B(R为ABC外接圆的半径)，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，AB，AB0，即AB.故ABC为等腰三角形