1、20222023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷一、选择题（共8小题）1“”是“”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要出D既不充分也不必要2已知复数在复平面内对应的点都在射线上，且，则的虚部为（）A3BCD3在五边形中，分别为，的中点，则（）ABCD4衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）ABCD5中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴
2、影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A144B72C36D246已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（）ABCD7某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A2BCD18已知是自然对数的底数，设，则（）ABCD二、多选题（共4小题）9对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（）A若，则B若，则或C若，则或D若，则或10已知函数则下列结论正确的是（）A是偶函数BC是增函数D的值域为11提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年
3、由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A数列的通项公式为B数列的第2021项为C数列的前项和D数列的前项和12定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（）A在处取得极大值，极大值为B有两个零点C若在上恒成立，则D三、填空题（共4小题）13在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是_（用数
4、字作答）14抛物线C：x22py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2y26x0截得的弦长为_15若直线与曲线相切，则_16已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为_四、解答题（共6小题）17已知等比数列的前项和为，（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前项和18在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，a=2，求的面积.192020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为用分层抽样的方法
5、，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：，其中0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记
6、“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望20如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，(1)证明：平面平面；(2)若，求三棱柱的体积21在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值22已知函数(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.1D【分析】解出相应的x的范围，即可得出答案.【详解】，因为，没有包含关系，是的既不充分也不必
7、要条件，故选：D2A【分析】根据条件设出复数，再根据模为即可求得.【详解】设，虚部为3.故选：A3C【分析】由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】,故选：C4D【分析】第一步选投对的一袋，剩下两袋投错只有一种方法，得方法数，再求出任意投放的方法数相除可得概率【详解】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为，故选：D.5B【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的底面边长，再根据棱柱的体积公式求解即可.【详解】如图，正六边形的每个内角为120，按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以，可得正六棱柱底边边长，则正
8、六棱柱的底面积为所以正六棱柱的体积.故选：B6A【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.【详解】根据，可得，故，所以，故的周期为24，所以，故选：A7A【分析】如图截面为，P为MN的中点，设，进而可得面积最大值.【详解】如图所示，截面为，P为MN的中点，设,当时，此时截面面积最大.故选：A【点睛】易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.8A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，当时，函数单调递增，当时，函数单调递
9、减，时，即，设，时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，即恒成立，即，令，时，单调递减，时，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.9ACD【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断【详解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确；若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；若，则或，与不相交，C正确；若，则或，与不相交，D正确故选：ACD【点睛】关键
10、点点睛：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的方向向量的关系判断10BD【分析】利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项.【详解】，而，故不是偶函数，故A错误.因为，故不是增函数，故C错误.，故B正确.当时，当时，故的值域为，故D正确.故选：BD.11CD【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用
11、错位相减法可求出数列的前项和【详解】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.12ACD【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答.【详解】，由得：，即，令，而，则，即有，当时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在处取得极大值，A正确；显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；，令，当时，当时，即函数在上递增，在上递减，因此，
12、当时，所以，C正确；因函数在上单调递增，而，则，又，则，即，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.13135【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.【详解】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，解得，因此的展开式的通项为，令得：，所以项的系数是135.故答案为：13514【分析】求出准线方程以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为.【详解】首先求得准线l的方程为，x2y26x0，圆心到准线的距离为 故弦长为故答案为：15【分析】设切点为，根据导
13、数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.【详解】设直线与曲线相切于点，由得：，又，解得：，.故答案为：.16【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简，由条件结合椭圆的定义可求，由求，可得椭圆方程.【详解】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，又，所以，由椭圆的定义可得，设直线l与交于点M，则M为的中点，且，所以，解得或1（舍去），所以，则C的方程为：故答案为：17（1）；（2）.【分析】（1）先由，结合题中条件，求出公比，进而可得通项公式；（2）根据裂项相消的方法得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）由可得，则
14、，因为为等比数列，所以其公比为；又，所以；（2）由（1）可得；，所以.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.18（1）b=4；（2）.【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为CAD=BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：熟练掌
15、握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.19(1)列联表见解析，有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；(2)分布列见解析，数学期望.【分析】(1)由频率分布直方图求样本中收入超过1.5万元的户数，由分层抽样性质确定平原地区家庭与山区家庭的户数，根据数据关系完成列联表，由公式计算，与临界值比较大小，确定是否接受假设；(2)确定随机变量的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，判断为二项分布，利用二项分布概率公式求其期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户
16、数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布，所以X的数
17、学期望20(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.（2）由已知及（1）中信息，求出，进而求出三棱锥的体积即可计算作答.【详解】（1）因为侧面是矩形，则，又因为，即有，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面，而平面，则，因为，于是得，而是边长为2的菱形，因此是正三角形，所以三棱柱的体积.21(1)(2)(3)【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出
18、，结合基本不等式求出最值.【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，由题意得，故，故椭圆的方程为（2）因为，所以的方程为，由，解得点Q的坐标为设过P，Q，三点的圆为，则，解得，所以圆的方程为；（3）设，则，因为，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，取等号最大值为22（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围【详解】解：（1）证明：时，设，则，令，解得：，故在区间上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意，令，令，解得：，故在区间递增，在递减，故，故，令，令，解得：，故在区间递减，在区间递增，故，故，递增，故，故，对于任意，恒成立，故，当时，即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理