1、 类型1条件概率、乘法公式及全概率公式阐述：高中教材引进条件概率的概念是为了定义事件的相互独立性，高考试题中很少出现单独考查条件概率的试题事件的相互独立性是进一步研究独立重复试验和二项分布的基础而乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式是新增加的内容，在今后的高考中会有所体现主要考查逻辑推理素养及数学运算素养【例1】设某批产品中， 甲、 乙、 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品， 求该产品是甲厂生产的概率解记事件A1：“该产品是甲厂生产的”， 事件A2: “该产品
2、为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”， 事件B：“该产品是次品” 由题设， 知P(A1)45%，P(A2)35%，P(A3)20%，P(B|A1)4%，P(B|A2)2%，P(B|A3)5%(1)由全概率公式得P(B)P(Ai)P(B|Ai)3.5%(2)由贝叶斯公式得P(A1|B)无论条件概率公式P(A|B)，乘法公式P(AB)P(B)P(A|B)，还是贝叶斯公式P(A|B)都反映了P(A)，P(B|A)，P(AB)三者之间的转化关系，灵活应用即可.1某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分
3、别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为_0.527 5设B该小组在比赛中射中目标，Ai选i级射手参加比赛，(i1,2,3,4)由全概率公式，有P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.850.640.450.320.527 5 类型2独立重复试验与二项分布阐述：独立重复试验、二项分布是一种常见的、应用广泛的概率模型，是高考重点考查的内容之一，要求有较高的逻辑推理、阅读理解能力、重在培养数学建模和数学运算的核心素养【例2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)(1)试分别求甲打完3局、4
4、局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛规则求甲获胜的概率解(1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B“甲打完4局才能取胜”，记事件C“甲打完5局才能取胜”甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，甲打完3局取胜的概率为P(A)C甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C(2)事件D“按比赛规则甲获胜”，则DA
5、BC，又事件A，B，C彼此互斥，故P(D)P(A)P(B)P(C)，按比赛规则甲获胜的概率为1在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率2根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率2某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率
6、解记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A3)0.6(1)这名同学得300分的概率为：P1P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228(2)这名同学至少得300分的概率为：P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564 类型3离散型随机变量的分布列、均值和方差阐述：随机变量的数字特征在高考中常以分布列为载体进行考查，注重考查分类讨论、转化与化归的数学思想方法，培养应用意识和分析、解决实际问题的能
7、力二项分布、超几何分布、离散型随机变量均值与方差的性质都是历年高考的常考内容【例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(
8、X2)时，求p的取值范围解 (1)由题意得X1的分布列为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18由题设得XB(2，p)，即X的分布列为X012P(1p)22p(1p)p2所以X2的分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3(2)由E(X1)E(X2)，得p20.1p1.31.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3因为0p1，所以0p0.3即当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是(0,0.3)1对于特殊分布列的
9、均值：(1)若XB(n，p)，则E(X)np；(2)若XH(N，n，M)，则E(X)；(3)若YaXb，则E(Y)aE(X)b2对于一般分布列的均值，求解的关键依然是随机变量的取值范围及相应概率的计算3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)由已知，有P(A)所以，事件A发生的
10、概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234 类型4正态分布及其应用阐述：高考对正态分布的考查以正态曲线及其特征为主，重点考察利用正态曲线的对称性求解简单的概率问题，在解答题中多强调对3原则的应用虽近几年考查正态分布的试题较少出现在全国卷中，但在各地区重量级模拟考试中仍较常见对数学运算及逻辑推理素养要求比较高【例4】已知(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，在某项测量结果中，测量结果服从正态分布(，2)，且E()2，D()9，则概率P(15)等于()A(1)(1) B2(
11、1)1C12(1) D(2)AE()2，D()9，总体服从正态分布，xB(2,32)，(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，P(x)，P(15)(1)(1)，故选A求解正态分布问题的三个关注点1标准正态分布N(0,1)与非标准正态分布YN(，2)之间可通过ZN(0,1)实现转化2若N(0,1)，则(x)P(x)3正态曲线是轴对称图形，要会利用其对称性解题4为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示若体重大于58.5 kg小于等于62.
12、5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A997 B954C819 D683D由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(0(i1,2，n)，1，定义X的信息熵H(X)log2piA若n1，则H(X)0B若n2，则H(X)随着Pi的增大而增大C若Pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，m，且P(Yj)PjP2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)AC对于选项A，若n1，则p11，log210，H(X)p1log2p1log210，A正确对于选项B，当p1时，H(X)log2pi(p1log2p1
13、p2log2p2)，当p1时，H(X)log2pi(p1log2p1p2log2p2)，由此可得，当p1与p1时，信息熵相等，B不正确对于选项C，若pi，则H(X)log2pinlog2n，H(X)随着n的增大而增大，C正确对于选项D，若n2m，随机变量Y的可能取值为1,2，m，由P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)知，P(Y1)p1p2m；P(Y2)p2p2m1；P(Y3)p3p2m2；P(Ym)pmpm1H(X)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2
14、p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，H(Y)H(X)(p1p2m)log2(p1p2m)(pmpm1)log2(pmpm1)p1log2p1p2mlog2p2mpmlog2pmpm1log2pm1p1log2p2mlog2易知01，01，log20，log20，H(Y)H(X)，故D错误2(2020天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为13(
15、2020浙江高考)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则P(0)_，E()_10表示停止取球时没有取到黄球，所以P(0)随机变量的所有可能取值为0,1,2，则P(1)，P(2)，所以E()01214(2020新高考全国卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：g/m3)，得下表：SO2PM2.5 0,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中
16、PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.5 0,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2，解(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32186864，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为0.64(2)根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.5 0,150(150,4750,756416(75,115
17、1010(3)根据(2)的列联表得K27.484由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关5(2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率解(1)设甲连胜四场为事件M，则P(M)，所以甲连胜四场的概率为(2)设甲输掉一场比赛为事件A，乙输掉一场比赛为事件B，丙输掉一场比赛为事件C，进行四场比赛能结束为事件N，则P(N)P(ABAB)P(ACAC)P(BABA)P(BCBC)4，所以需要进行第五场比赛的概率为P1P(N)1(3)丙获胜的概率为PP(ABAB)P(BABA)P(ABACB)P(BABCA)P(ABCAB)P(ABCBA)P(BACAB)P(BACBA)P(ACABB)P(ACBAB)P(BCABA)P(BCBAA)210