1、第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学 习 任 务核 心 素 养1掌握二项式系数的性质及其应用(重点)2了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明(难点)3掌握二项式定理的应用(难点)1通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养2借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中，用如图所示的三角形解释(ab)n的展开式的各项系数问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？提示利用组合数性质CCC观察二项式系数的性质知识点1二项式系数的性质(1)CCCC2n；(2)CCCCC
2、C2n1即二项展开式的二项式系数的和等于2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n11已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和的比值为64，则n等于()A4 B5 C6 D7C令x1，得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则64，解得n6知识点2杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大2在
3、(ab)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A第8项 B第7项C第9项 D第10项C由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等3(对接教材P32尝试与发现)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是_1121133114a41151010516由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6 类型1求展开式的系数和【例1】设(12x)2 021a0a1xa2x2a2 021x2 021(xR)(1)求a0a1a2a2 021的值；(2)求a1a3a5a2 021的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 021|的值思路点拨先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值
4、法求解解(1)令x1，得a0a1a2a2 021(1)2 0211(2)令x1，得a0a1a2a2 02132 021得2(a1a3a2 021)132 021，a1a3a5a2 021(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 021|a0a1a2a3a2 02132 0211解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差1若(3
5、x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6解(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128 类型2二项式系数的性质及应用【例2】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨求二项式系数最大的项，利用
6、性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n2n992(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx (52r)假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4展开式中系数最大的项为T5Cx (3x2)
7、4405x1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得2已知的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n_；展开式中的系数最大的项是_4108x5的展开式中的各二项式系数的和为2n令x1，则各项系数的和为(31)n22n，依题意得22n2n240，(2n15)(2n16)0,2n16，n4所以二项式为，其展开式的通项为Tr1C(3x2)4r(x1)r34rCx83r，所以展开式中的系
8、数为34rC令r0,1,2,3,4，得系数的取值为3481,33C108,32C54,3C12,30C1，所以展开式中的系数最大的项是341Cx83108x5 类型3与“杨辉三角”有关的问题【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值思路点拨由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C解S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274解决“杨辉三角”问题的一般方法3如图，在由二项式系
9、数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2334由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23 类型4二项式定理的应用1不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？提示把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开因为0.9986(10.002)61C0.002C0.0022C0.0023C0.0026第三项T3150.00220.000 060.001，以后各项更小，所以0.9986
10、10.0120.9882你能用二项式定理证明2，(nN，且n2)吗？提示1CCC2，又n2且nN，02(nN，且n2)【例4】(对接教材P33例5)(1)用二项式定理证明：11101能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数思路点拨(1)11101(110)101，展开求证便可；(2)9192(190)92，展开求解便可解(1)证明：11101(101)101(1010C109C108C101)11010C109C108102100(108C107C1061)，11101能被100整除(2)9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均
11、能被100整除，只需求最后一项除以100的余数992(101)92C1092C1091C102C101，前91项能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 00091981，故9192被100除可得余数为81(变条件)求CCC除以9的余数解CCC227C891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7显然上式括号内的数是正整数，故CCC除以9的余数为7利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须
12、构造一个与题目条件有关的二项式(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了1二项式(x1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于()A5 B6 C7 D8C二项式(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，2n164，n7故选C2(12x)15的展开式中的各项系数和是()A1B1C215 D315B令x1即得各项系数和，各项系数和为13若 (nN)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A210 B252C462 D10A由于展开式中只有
13、第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C2104设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_15令x1，得a0a1a2a3a41又Tk1C(3)4k(2x)k，当k4时，x4的系数a416由得a0a1a2a3155如图所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_46由题图可知第10行的第2个数为(1239)146回顾本节内容，自我完成以下问题：1如何用赋值法求展开式的所有项或部分项的系数和？提示求展开式中的所有项或部分项的系数和、差的关键是给字母赋值，赋值
14、的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握2二项式定理的应用主要体现在哪些方面？提示对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1x)n1nx，具体情况视精确度而定(教师用书独具)数学家杨辉的故事说到杨辉，大家肯定会想到耳熟能详的“杨辉三角”而说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起一天，台州府的地方官杨辉出外巡游，路上，前面铜锣开道，后面衙役殿兵，中间，大轿抬起，好不威风走着走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声杨辉忙问怎么回事，差人来报；“孩童不让过，说等他把题
15、目算完后才让走，要不就绕道”杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了”“什么算式？”“就是把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15我们先生让我们下午一定要把这道题做好我正算到关键之处”杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字在哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的大戴礼书中所写的文章中提及的杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，
16、这才站了起来孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁您的时间了，到我家吃饭吧！”杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生”孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧下午你到学校去，我在那儿等你”下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍
17、，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽自此，这孩童方才有了真正的先生教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是大戴礼书中的？”那先生笑着说：“是啊，大戴礼虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题”教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在数术记遗一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”教书先生也不知出处杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现了其中的规律他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作续古摘奇算法一书中，并流传后世