1、第八章 平面解析几何 第五节 椭圆最新考纲考情索引核心素养1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质3.理解数形结合思想4.了解椭圆的简单应用.2018全国卷，T192018全国卷，T122018全国卷，T202017全国卷，T202016全国卷，T201.直观想象2.数学运算1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆两定点F1，F2叫椭圆的_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当_时，P点的轨迹是椭圆(2)当_时，P点的轨迹
2、是线段等于常数焦点2a|F1F2|2a|F1F2|(3)当_时，P点不存在2ab0)y2a2x2b21(ab0)图形范围_x_y_ _x_y_对称性对称轴：_；对称中心：_性质顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)aabb bbaa坐标轴原点e_，且e_a，b，c的关系性质离心率c2a2b2ca(0，1)1点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21.(2)点P(x0，y0)在椭圆上x20a2y20b21.(3)点P(x0，y0)在椭圆外x20a2y20b21.2若P为
3、椭圆上任意一点，F为其焦点，则ac|PF|ac.1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(5)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(6)x2a2 y2b2 1(ab0)与 y2a2 x2b2 1(ab0)的焦距相等()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2教材衍化(1)(人A选修21
4、P80A组T3(1)改编)椭圆x210m y2m21的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12解析：当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，所以m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，所以m8.所以m4或m8.答案：C(2)(人A选修21P49A组T6改编)已知点P是椭圆 x25y24 1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入 x25 y24 1，得x 152，又x0，
5、所以x 152，所以P点坐标为152，1 或152，1.答案：152，1 或152，13典题体验(1)(2019承德模拟)椭圆 x24 y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.72B.32C.3D4(2)(2019郑州模拟)已知椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为 23，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.x23 y21 B.x23 y221C.x29 y241 D.x29 y251(3)(2018全国卷)已知椭圆C：x2a2 y24 1的一个
6、焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22 D.2 23解析：(1)F1(3，0)，因为PF1x轴，所以P 3，12，所以|PF1|12，所以|PF2|41272.(2)由题意可得ca23，4a12，解得a3，c2，则b 3222 5，所以椭圆C的方程为x29 y251.故选D.(3)因为a24228，所以a22，所以e ca 22 2 22.故选C.答案：(1)A(2)D(3)C第1课时 椭圆的概念及其性质(基础课)考点1 椭圆的定义及其应用(自主演练)1已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心
7、M的轨迹方程为()A.x264y2481 B.x248y2641C.x248y2641 D.x264y2481解析：设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.答案：D2F1，F2是椭圆x29 y27 1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.74C.72D.7 52解析：由题意得a3，b 7，c 2，所以|F1F2|2 2，|AF1|AF2|6.因为|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|A
8、F1|24|AF1|8，所以(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.所以|AF1|72.所以SAF1F212|AF1|F1F2|sin 4512722 2 22 72.答案：C3.(2019合肥一模)如图，椭圆x2a2y24 1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20 B10 C2 5D4 5解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H为NF1的中点，因为O为F1F2的中点，所以OHNF2，所以NF2F1F2，则Nc，4a，设M(x，y)，由题意知NF1 23NM，即2c，4a 23xc，y4a
9、，解得x2c，y2a，所以M2c，2a，将M的坐标代入椭圆方程得4c2a2 44a21，又c2a2b2a24，解得a25，则a 5，所以F2MN的周长为4a4 5，故选D.答案：D4已知F1，F2是椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2的面积为9，则b_解析：由定义，|PF1|PF2|2a，且PF1 PF2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以2|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|2b2.所以SPF1F212|PF1|PF2|122b
10、29，因此b3.答案：31椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等2椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.考点2 椭圆的标准方程(讲练互动)典例体验1(2019济南一模)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.x236y2321 B.x29 y281C.x29 y251 D.x216y2121解析：椭圆长轴长为6，即2a6，得a3，因为两焦点恰好将长轴三等分，所以2c132a2，得c1，因此，b2a2c2918，所以此椭圆的标准方程为
11、x29 y281.故选B.答案：B2一题多解过点(3，5)，且与椭圆y225x29 1有相同焦点的椭圆的标准方程为_解析：法一 椭圆y225x291的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2a（30）2（54）2（30）2（54）2，解得a2 5.由c2a2b2可得b24，所以所求椭圆的标准方程为y220 x24 1.法二 因为所求椭圆与椭圆y225x29 1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(3，5)在所求椭圆上，所以（5）2a2（3）2b21，即 5a2 3b21.
12、由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为y220 x24 1.答案：y220 x24 1求椭圆标准方程的两种常用方法1定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程2待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程：结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)变式训练1一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为()A.x28 y261 B.x216y261C.x24 y221
13、 D.x28 y241解析：设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点P(2，3)在椭圆上知 4a2 3b2 1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，ca12，又c2a2b2，联立 4a2 3b21，c2a2b2，ca12，得a28，b26，故椭圆方程为x28 y261.答案：A2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5)，则椭圆方程为_解析：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)由322m522n1，3m5n1，解得m16，n 110.所以椭圆方程为y210 x26 1.答案：y21
14、0 x26 1考点3 椭圆的几何性质(多维探究)角度 求离心率的值或范围【例1】(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 32 B2 3 C.312 D.31解析：在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|3，由椭圆的定义可知，方程 x2a2 y2b2 1中，2a13，2c2，得a1 32，c1，所以离心率eca21 3 31.故选D.答案：D角度 利用椭圆的性质求参数的值或范围【例2】已知椭圆x29 y24k1的离心率为45，则k的值为()A21
15、 B21C1925或21 D.1925或21解析：当94k0，即5k4时，a3，c29(4k)5k，所以 5k345，解得k1925.当94k，即k5时，a 4k，c2k5，所以 k54k 45，解得k21，所以k的值为1925或21.答案：D1求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解2利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，建立关于a、b、c的方
16、程或不等式变式训练1已知椭圆x2m2 y210m 1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8 B7C6 D5解析：因为椭圆 x2m2y210m1的长轴在x轴上，所以m20，10m0，m210m，解得6m10.因为焦距为4，所以c2m210m4，解得m8.答案：A2(2017全国卷)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，该圆与直线bxay2ab0相切，所以|b0a02ab|b2（a）2 a，即2b a2b2，
17、所以a23b2，因为a2b2c2，所以c2a223，所以eca 63.答案：A核心素养欣赏 数学运算离心率求解面面观离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至类型的变化近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求对离心率的概念、几何意义深刻领会外，还常常要用到其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性一、巧求离心率的值【例1】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象
18、限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.33 B.32 C.22 D.12解析：设|F1P|m，|F2P|n，|F1F2|2c，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得mn2a1，mn2a2，所以ma1a2，na1a2，代入上式得4c23a22a21，又它们的离心率互为倒数，ca1 ca21，即c2a1a2，代入4c23a22a21得3a224a1a2a210，a13a2，e1e2 ca1 ca2 ca13ca11，即3e211，所以e1 33.答案：A【点评】本题考查
19、椭圆及双曲线的定义、标准方程、几何性质及对称性问题，考查数形结合思想、转化与化归思想及运算求解能力二、求离心率的取值范围【例2】(2019湖南师大附中模拟)设椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足FA FB 0，|FB|FA|2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.22，53B.53，1C.22，31D 31，1)解析：设椭圆左焦点为F，连接AF、BF.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又 FA FB 0，即FAFB，故平行四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设|AF|n，|AF|m，则在直角三角形AFF中
20、mn2a，m2n24c2，得mn2b2，得mnnm2c2b2，令mnt，得t1t2c2b2.又由|FB|FA|2|FB|得1|FA|FB|2，则mnt1，2，所以t1t2c2b2 2，52，又2c2b2 2c2a2c2 2e21e2，则可得 22 e 53，即离心率的取值范围是22，53.故选A.答案：A【点评】1.根据题意构造关于离心率e的不等式是求解本题的关键在解决椭圆有关问题时注意定义的运用2椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，axa，byb，0er2，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2r21r222r1r2cos 3，得4c2r21r22r1r2.由r1r22a1，r1r22a2，得r1a1a2，r2a1a2，所以 1e1 1e2 a1a2c r1c.令m r21c2 4r21r21r22r1r241r2r12r2r14r2r112234，当r2r112时，mmax163，所以r1c max4 33，即 1e1 1e2的最大值为4 33.故选A.答案：A【点评】求解圆锥曲线离心率的最值主要有以下几种方法：1利用数形结合，几何意义，尤其是圆锥曲线的性质求最值2利用函数，尤其是二次函数求最值3利用不等式，尤其是基本不等式求最值4利用一元二次方程的判别式求最值