1、第八章 平面解析几何 第三节 圆的方程最新考纲考情索引核心素养1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2018全国卷，T192017全国卷，T202016全国卷，T41.直观想象2.数学运算圆的定义及方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程_(r0)圆心：_，半径：r一般方程_(D2E24F0)圆心：_，半径：_定点定长(xa)2(yb)2r2(a，b)x2y2DxEyF0D2，E212 D2E24F1点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1)点 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)
2、2(y0b)2r2.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则x20y20Dx0Ey0F0.()解析：由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当t0时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A必修2P124A组T1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3)B(2，3)C(2，3)D(2，3)(2)(人A必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过
3、点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_解析：(1)圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)故选D.(2)设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|CB|，即（a1）21（a1）29，解得a2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|（21）21 10，所以圆C的方程为(x2)2y210.答案：(1)D(2)(x2)2y2103典题体验(1)(2019荆州模拟)圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A2 B2C1 D1(2)(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A
4、43B34C.3D2(3)(2019郑州质量预测)以点M(2，0)，N(0，4)为直径的圆的标准方程为_解析：(1)因为圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，所以直线ykx3过圆心(1，1)，即1k3，解得k2.故选B.(2)圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线axy10的距离d|a41|a211，解得a43.(3)圆心是MN的中点，即点(1，2)，半径r 12|MN|5，则以MN为直径的圆的标准方程为(x1)2(y2)25.答案：(1)B(2)A(3)(x1)2(y2)25考点1 圆的方程(讲练互动)典例体验1(2019海口调研)已知圆M与直线3x4y0及
5、3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21解析：到两直线3x4y0和3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立方程组3x4y50，yx4，解得x3，y1，所以圆M的圆心坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为103242 2，所以圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x3)2(y1)21，故选C.答案：C2一题多解(2019安徽江南十校联考)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为6，则圆C的方程为_解析：法一 因为所求圆的圆心在
6、直线xy0上，所以设所求圆的圆心为(a，a)又因为所求圆与直线xy0相切，所以半径r2|a|2 2|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为6，圆心(a，a)到直线xy30的距离d|2a3|2，所以d2622r2，即（2a3）22322a2，解得a1，所以圆C的方程为(x1)2(y1)22.法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d|ab3|2，所以r2（ab3）2232，即2r2(ab3)23.又因为圆心在直线xy0上，所以ab0.联立，解得a1，b1，r 2，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF
7、0，则圆心为D2，E2，半径r12D2E24F，因为圆心在直线xy0上，所以D2E20，即DE0，又因为圆C与直线xy0相切，所以D2E2212D2E24F，即(DE)22(D2E24F)，所以D2E22DE8F0.又知圆心D2，E2 到直线xy30的距离dD2E232，由已知得d2622r2，所以(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得D2，E2，F0，故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)22求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设
8、圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练1(2019豫北名校联考)圆(x2)2y24关于直线y 33 x对称的圆的方程是()A(x 3)2(y1)24B(x 2)2(y 2)24Cx2(y2)24D(x1)2(y 3)24解析：设圆(x2)2y24的圆心(2，0)关于直线y33 x对称的点的坐标为(a，b)，则有 ba2 33 1，b2 33 a22，解得a1，b 3
9、，从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)24.故选D.答案：D2过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 6B8 C4 6D10解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500，解得D2，E4，F20.所以圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22 6或y22 6，所以M(0，22 6)，N(0，22 6)或M(0，22 6)，N(0，22 6)，所以|MN|4 6，故选C.答案：C考点2 与圆有关的最值问题(典例迁移)典例体验(经典母题)已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点
10、，且点Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y3x2的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r2 2.又|QC|（22）2（73）24 2，所以|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.(2)可知y3x2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有交点，所以|2k72k3|1k22 2，可得2 3k2 3，所以y3x2的最大值为2 3，最小值为2 3.结论迁移在典例的条件下，求yx的最大值和最小值解：设yxb，则xyb0.当
11、直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，所以|27b|12（1）22 2，所以b9或b1.因此yx的最大值为9，最小值为1.条件迁移若典例中条件“点Q(2，3)”改为“点Q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解：因为圆心C(2，7)到直线3x4y10上动点Q的最小值为点C到直线3x4y10的距离，所以|QC|mind|23741|32427.又圆C的半径r2 2，所以|MQ|的最小值为72 2.与圆有关的最值问题的三种几何转化法1形如 ybxa 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题2形如taxby形式的最值问题可转化为直线截距的最值问题3形如m(xa)2(yb
12、)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练1(2019石家庄模拟)已知圆C：(x1)2(y4)210和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MAMB，则实数t的取值范围为()A2，6 B3，5C2，6 D3，5解析：过点M作圆C的两条切线MA与MB，切点为A，B，若满足圆C上存在两点A，B使得AMBM，则只需满足AMB90，即|AC|CM|22，所以|CM|2 5，即(51)2(t4)220，解得2t6，故选C.答案：C2(2019广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则 1a 3b 的最小值是()A2 3B.203 C4 D
13、.163解析：由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，因为圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，所以该直线经过圆心(1，3)，即a3b30，所以a3b3(a0，b0)，所以1a3b13(a3b)1a3b 13(13ab 3ba 9)131023ab 3ba 163，当且仅当3ba 3ab，即ab时取等号，故选D.答案：D考点3 与圆有关的轨迹问题典例体验已知A(2，0)为圆x2y24上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由
14、中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.求与圆有关的轨迹问题的四种方法1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解2定义法：根据圆的定义列方程求解3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解4代入法(相关点法)：指出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练(2019武威模拟)设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285(点P在直线OM上的情况)
