1、广西陆川县中学2018年春季期高三开学基础知识竞赛理科数学试题 第I卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A必有1个 B1个或2个 C至多1个 D可能2个以上2若,则=AB1 C3 D3在等差数列中，则A7B10C20D304.已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABC D5.将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为A. B.C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框
2、内应填的条件为A1B0.5C0.2D0.1 7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48 B. 72 C. 90 D. 968.下列命题中错误的命题是A.对于命题使得，则都有B.若随机变量，则C.设函数，则函数有三个不同的零点D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件9.在中，,是的内心，若，则A. B. C. D.10.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是A B. C. D.11.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，则函数的值域为A. B. C. D.12.已知奇函数是定义在
3、上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.若，则的二项展开式中的系数为 .14.已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为_15. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为若，则的取值范围是_16.已知函数，点为坐标原点, 点，向量，是向量与的夹角，则使得恒成立的实 数的取值范围为_.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分） 已知函数.（）求函数在的单调递减区间；（）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求
4、的面积.18.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：且的数学期望, 求的值;（）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；（）在（）,（）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注: 产品的“性价
5、比”；“性价比”大的产品更具可购买性.19.（本小题满分12分）如图, 平面，平面, 是等边三角形，, 是的中点. （）求证：; （）若直线与平面所成角的正切值为， 求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点, 求面积的最大值21.（本小题满分12分）设函数. 若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（）求函数的单调区间；（）若，试比较与的大小，并予以证明.请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面
6、直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的倾斜角；（2）设点和交于两点，求.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，证明：.理科数学试题参考答案及评分标准题号123456789101112答案CACACBDCBADC13.180 14. 15.() 16. 三、解答题17解（1）由已知得 3分又函数在的单调递减区间为和. 6分（2）由（1）知锐角， 又，即 9分又. 12分18. 解:（）, 即, 1分又由的概率分布列得, 2分由得 4分（）由已知得，样本的频率分布表如下：5分用这个样本的频率分布估
7、计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下： 6分所以. 7分即乙厂产品的等级系数的数学期望为. 8分 （）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，9分因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，10分据此，乙厂的产品更具可购买性. 12分19.解:（）因为是等边三角形，是的中点, 所以. 1分 因为平面, 平面, 所以. 2分 因为, 所以平面. 3分 因为平面, 所以. 4分（）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.因为平面,所以为
8、直线与平面所成角. 5分由题意得, 即,6分从而.不妨设, 又, 则, .7分故, , . 8分于是, ,设平面与平面的法向量分别为, 由 得 令,得, 所以. 9分 由 得 令,得, . 所以. 10分 所以. 11分 所以二面角的余弦值为. 12分法2: 因为平面,所以为直线与平面所成角. 5分由题意得, 即,6分从而.不妨设, 又, 则, , . 7分由于平面,平面, 则. 取的中点, 连接, 则. 在Rt中, ,在Rt中, ,在Rt中, ,取的中点, 连接, ,则. 8分所以为二面角的平面角. 9分在Rt中, ,在Rt中, ,在Rt中, ,因为, 10分所以. 11分所以二面角的余弦值
9、为. 12分20. 解：（）设圆的半径为, 圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切. 1分 所以 2分则. 3分所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆, 且, 则.所以曲线的方程为. 4分（）设，直线的方程为， 由 可得，则. 5分 所以 6分 7分因为，所以的面积等于的面积. 8分 点到直线的距离. 9分 所以的面积. 10分 令，则 ，. 设，则.因为, 所以所以在上单调递增.所以当时, 取得最小值, 其值为. 11分所以的面积的最大值为. 12分说明: 的面积.21. 解:（）函数的定义域为. 1分依题意得，即 3分所以. 4分所以，.当时, ; 当时, .所以函数
10、的单调递减区间是, 单调递增区间是.6分（）当时，.等价于，也等价于. 7分不妨设，设（）, 则. 8分 当时，所以函数在上为增函数，即， 9分故当时，（当且仅当时取等号）.令，则， 10分即（当且仅当时取等号），11分综上所述，当时，（当且仅当时取等号）. 12分22.解：（1）由消去参数，得即的普通方程为由，得将代入得所以直线的斜率角为.（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)即(为参数)，代入并化简得设两点对应的参数分别为.则，所以所以.23.（1）解：当时，原不等式化为解得；当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；当时，原不等式化为解.综上，或（2）证明，因为.所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证，因为，所以，所以，所以成立.所以原不等式成立.
