1、第44练矩阵与变换题型一常见矩阵变换的应用例1已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程破题切入点把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P(x0，y0)，则.又x0y01，(y0x0)(y0x0)1.y x 2，即曲线C：xy1旋转后所得到的曲线C的方程为y2x22.(2)曲线C的焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2)，渐近线方程为yx.再顺时针旋转45后
2、，即可得到曲线C的焦点坐标为(，)和(，)；渐近线方程为x0，y0.题型二二阶矩阵的逆矩阵例2设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值破题切入点对于二阶矩阵，若有ABBAE，则称B为A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以.所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则，即又点
3、P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以题型三求矩阵的特征值与特征向量例3已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量破题切入点(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解(1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2.所以|A2|1，(A2)1.12已知矩阵A，B.(1)求(AB)1；(2)求直线2xy50在(AB)1对应变换作用下的直线方程解(1)AB，又|AB|314，(AB)1.(2)设P(x0，y0)是直线2xy50上任一点，P(x，y)是在变换作用下点P的像，则有(AB)1.代入直线方程2xy50，得2(xy)(x3y)50，即x5y50，即为所求的直线方程
