1、函数及其性质知识要点一、映射与函数1.映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.给 定 一 个 集 合 A到 B的 映 射，如 果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象2.函数一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x),xA.A称为函数的定义域,y的集合C B 称为函数的值域.即函数是由一个非
2、空数集到另一个非空数集的映射.定义域、对应法则是函数的两大要素,值域是由定义域和对应法则所确定的第三要素.对应法则是函数的核心。3.函数的图象 C (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即C=P(x,y)|y=f(x),xA C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成
3、.(2)画法 1、描点法；根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.利用这种方法作图时，要与研究函数的性质结合起来 进行，以简化过程.2、图象变换法（三角函数讲）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4.函数的表示法：解析法：便于算出函数值列表法：便于查出函数值图象法：便于量出函数值5、分段函数（见课本P31例3）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求
4、函数值时必须把自变量代入相应的表达式。6、复合函数（见课本P29思考。运用）如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),且g(x)M,则 y=fg(x)=F(x)，(xA)称为f、g的复合函数。二、函数的定义域1.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的(自然）定义域.2.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保
5、证实际问题有意义.3、求出不等式组的解集即为函数的定义域。三、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.3.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.4、函数的最值四、函数的解析表达式1.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造
6、时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)五.函数的单调性1、定义:设函数y=f(x)的定义域为 A：区间I A，如果对于区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间I上是增函数.区间I称为y=f(x)的单调增区间;如果对于区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间I称为y=f(x)的单调减区间.函数是增函数还是减函数
7、.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质.2.图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3.判定方法(1)定义法：1)取值：对任意x1,x2I M，且x1x2；2)作差：f(x1)-f(x2)；3)变形:把差化为乘积或平方和的形式4)判定差的正负；5)根据判定的结果作出相应的结论.(2)图象法(3)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y
8、=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、以后将学习简单易行的导数法.1、定义:如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.六.函数的奇偶性(3)
9、利用定理，或借助函数的图象判定.2、图象特点偶函数的图象关于Y 轴对称奇函数的图象关于原点对称3.判定方法函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定;七、函数的周期性（三角函数讲）八、函数的其他性质（详见讲义函数的性质与函数图象的特点）九、反函数（课本P69链接）十、函数的应用1.函数思想就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出
10、来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题.十、函数的应用(课本P8295)2.方程思想就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转
11、化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点；解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数 yf(x)的正负区间.3.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.一般的解题程序是：读题建模求解反馈(文字语言)(数学语言)(数学应用)(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉
12、及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.常见的函数模型有一次函数，二次函数，对勾函数（yax+b/x）、指数函数、对数函数、三角函数模型等等.1.设集合A=a,b,B=0,1，试列出映射f:AB的所有可能的对应法则f.练习题【解题指导】虽然我们没有研究过函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象和性质，但通过图象提供的信息，运用函数与方程的思想方法还是能够正确地解答此题.2、设f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图，.根据函数图象说明函数具有那些性质并回答 b属于()(A)(-，0)(B)(0，1)(C)(1，2)(D)(2，+）
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有