1、第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课时训练1回归分析的基本思想及其初步应用1.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法正确的是().A.l1和l2有交点(s,t)B.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t)C.l1与l2必定平行D.l1与l2必定重合解析:都过样本中心点(s,t),但斜率不确定.答案:A2.已知x,y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7若x,y具
2、有线性相关关系,且回归方程为y=0.95x+a,则a的值为().A.0.325B.2.6C.2.2D.0解析:由已知得x=2,y=4.5,而回归方程过点(x,y),则4.5=0.952+a,a=2.6.答案:B3.对两个变量x和y进行回归分析,得到一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则下列说法中不正确的是().A.由样本数据得到的回归方程y=bx+a必过样本点的中心(x,y)B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.936 2,则变量y和x之间具有线性相关关系解
3、析:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.答案:C4.若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|0.5.如果今年该地区财政收入10亿元,年支出预计不会超过().A.10亿元B.9亿元C.10.5亿元D.9.5亿元解析:代入数据y=10+e,因为|e|0.5,所以|y|10.5,故不会超过10.5亿元.答案:C5.若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei(i=1,2,n),且ei恒为0,则R2为.解析:由ei恒为0,知yi=yi,即yi-yi=0,故R2=1-i=1
4、n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2=1-0=1.答案:16.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加万元.解析:设年收入为x1万元,对应的年饮食支出为y1万元,家庭年收入每增加1万元,则年饮食支出平均增加0.254(x1+1)+0.321-0.254x-0.321x1+1-x1=0.254(万元).答案:0.2547.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记
5、录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为,用线性回归分析法的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.解析:这5天的平均投篮命中率为y=0.4+0.5+0.6+0.6+0.45=0.5.x=1+2+3+4+55=3.i=15(xi-x)(yi-y)=(1-3)(0.4-0.5)+(2-3)(0.5-0.5)+(3-3)(0.6-0.5)+(4-3)(0.6-0.5)+(5-3)(0.4-0.5)=0.1.i=15(xi-x)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-
6、3)2+(4-3)2+(5-3)2=10.b=0.110=0.01,a=y-bx=0.5-0.03=0.47.所以回归直线方程为y=0.01x+0.47.当x=6时,y=0.016+0.47=0.53.答案:0.50.538.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:年份20022004200620082010需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直线方程,为此对数据预处理如下
7、:年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929对预处理后的数据,容易算得x=0,y=3.2.b=(-4)(-21)+(-2)(-11)+219+42942+22+22+42=6.5,a=y-bx=3.2.由上述计算结果,知所求回归直线方程为y-257=b(x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2,即y=6.5(x-2 006)+260.2.(2)利用直线方程,可预测2012年的粮食需求量为6.5(2 012-2 006)+260.2=6.56+260.2=299.2(万吨)300(万吨).9.关于x与y有以下数据:x24568y3040605070已知x与y线
8、性相关,由最小二乘法得b=6.5,(1)求y关于x的线性回归方程.(2)现有第二个线性模型:y=7x+17,且相关指数R2=0.82.若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型拟合效果比较好?请说明理由.解:(1)依题意设y关于x的线性回归方程为y=6.5x+a,x=15(2+4+5+6+8)=5,y=15(30+40+60+50+70)=50,y=6.5x+a经过样本点的中心(x,y),50=6.55+a,a=17.5,y与x的线性回归方程为y=6.5x+17.5.(2)由(1)的线性模型得yi-yi与yi-y的关系如下表:yi-yi-0.5-3.510-6.50.5yi-y-20-1010020所以i=15(yi-yi)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155.i=15(yi-y)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.所以R12=1-i=15(yi-yi)2i=15(yi-y)2=1-1551000=0.845.由于R12=0.845,R2=0.82知R12R2,所以(1)的线性模型拟合效果比较好.