1、第八节函数与方程考情展望1.考查具体函数的零点个数和零点的取值范围.2.利用函数零点求解参数的取值范围.3.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想一、函数零点1定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210
2、二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点分布情况根的分布(mnp为常数)图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m，一根小于m)f(m)0x1，x2(m，n) (两根位于m，n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与n，n与p之间)只有一根在m，n之间或f(m)f(n)0三、二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法1若函数f(x)x2mx1有两个零点，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(2,2)
3、C(，2)(2，) D(，1)(1，)【解析】依题意，m240，m2或m2.【答案】C2在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C.D.【解析】显然f(x)ex4x3的图象连续不间断，又f10，f20.由零点存在定理知，f(x)在内存在零点【答案】C3函数f(x)xx的零点的个数为()A0B1 C2D3【解析】在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点因此函数f(x)xx只有1个零点【答案】B4已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)x2xa在(0,1)上递增由已知条件f(0
4、)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.【答案】(2,0)5(2013重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内【解析】f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内【答案】A6(2013天津高考)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4【解析
5、】令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点【答案】B考向一 031函数零点的求解与判断(1)(2012天津高考)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3(2)(2014广州模拟)设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是_【思路点拨】(1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数(2)画出两个函数的图象寻找零
6、点所在的区间【尝试解答】(1)因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点(2)设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象，如图所示f(1)1110，f(2)8070f(1)f(2)0，x0(1,2)【答案】(1)B(2)(1,2)规律方法1 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法,(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0
7、.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.对点训练(1)函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点(2)(2014厦门模拟)函数f(x)ln(x2)的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】(1)令f(x)cos x0，则cos x，设函数y和ycos x，在同一坐标系下做出它们在0，)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)cos x在0，)内有且仅有一个零点(2)由题意知函数f(x)
8、的定义域为x|x2，排除A.f(3)0，f(4)ln 20，f(5)ln 30，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，函数f(x)的零点在(3,4)之间，故选C.【答案】(1)B(2)C考向二 032函数零点的应用已知函数g(x)x(x0)若g(x)m有实数根，求m的取值范围；【思路点拨】可用基本不等式求出最值或数形结合法求解【尝试解答】法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因此，只需m2e，则g(x)m就有零点故当g(x)m有实数根时，m的取值范围为2e，)法二 作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.故当g(x)m有
9、实数根时，m的取值范围为2e，)规律方法2 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路,(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.对点训练(1)(2014山东省实验中学模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(2014抚顺模拟)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1
10、) B(，1C1,0) D(0,1【解析】(1)由题意可知f(1)f(2)0，即a(a3)0，所以0a3.(2)当x0时，f(x)2x1，由f(x)0得x.要使f(x)在R上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有解又当x(，0时，2x(0,1故所求a的取值范围是(0,1【答案】(1)C(2)D思想方法之七解决方程根问题的一大“利器”数形结合利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f(x)a在区间I上有解ay|yf(x)，xI， yf(x)与ya的图象在区间I上有交点(2)方程f(x)a在区间I上有几个解yf(x)与ya的图象在区间I上有几个交点一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参
11、数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答1个示范例1个对点练(2014锦州模拟)偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x在x0,4上解的个数是()A1B2C3D4【解析】根据f(x1)f(x1)可得函数f(x)的周期为2，根据函数f(x)是偶函数以及f(x1)f(x1)可得f(1x)f(1x)，所以这个函数的图象关于直线x1对称根据函数f(x)在0,1上的解析式可以画出函数f(x)在0,4上的图象，结合图象可得函数f(x)x在0,4上有4个解(2014济南模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A(1,3)B(0,3)C(0,2) D(0,1)【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.【答案】D