1、第五章 数 列 第二节 等差数列及其前n项和最新考纲考情索引核心素养1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.2018全国卷，T42017全国卷，T42017全国卷，T92016全国卷，T32016全国卷，T171.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为_(nN*，d 为常数)(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是_，其
2、中 A 叫做 a，b 的_第2项差an1andAab2等差中项2等差数列的有关公式(1)通 项 公 式：an _，an am _(2)前n项 和 公 式：Sn _ _3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn 是其前 n 项和(1)若 m，n，p，q，k 是正整数，且 mnpq2k，则 aman_a1(n1)d(nm)dna1n（n1）d2n（a1an）2apaq2ak(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_(3)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)若数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)(
3、5)等差数列的通项公式形如 ananb(a，b为常数)，前 n 项和公式形如 SnAn2Bn(A，B 为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍kd1已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为 p.2用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1and(n2)时，应注意验证 a2a1 是否等于 d，若 a2a1d，则数列an不为等差数列3等差数列an的单调性：当 d0 时，an是递增数列；当 d0，4x20，3x0，解得x4.所以等差数列的前三项为log38，log312，log318，所以公差dlog312log38
4、log332，所以数列的第四项为log318log332log3273.故选A.答案：A等差数列基本量的运算的思想与方法1方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程考点2 等差数列的判定与证明(典例迁移)典例体验(经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求
5、数列an的通项公式(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为2，公差为2的等差数列(2)解：由(1)可得 1Sn2n，所以Sn 12n.当n2时，anSnSn1 12n12（n1）n1n2n（n1）12n（n1）.当n1时，a112不适合上式故an12，n1，12n（n1），n2.条件迁移将典例中的条件“an2SnSn10(n2)，a1 12”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解(1)证明：当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.所以SnSn(SnSn1)2(
6、SnSn1)0，即SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12，公差为12的等差数列(2)解：由(1)知 1Snn2，所以Sn2n，当n2时，anSnSn12n（n1）.当n1时，a12不适合上式，故an2，n1，2n（n1），n2.结论迁移若典例中的条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由解：因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2)所以 1Sn 1Sn12(n2)又 1S1 1a12，所以1Sn 是以2为首项，2为公差的等差数列所以 1Sn2(n1)22n，故Sn 12n.所以
7、当n2时，anSnSn1 12n 12（n1）12n（n1）.所以an112n（n1），又an1an12n（n1）12n（n1）12n 1n1 1n1 1n（n1）（n1）.当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列等差数列的四种判断方法1定义法：an1and(d是常数)an是等差数列可用来判定与证明2等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列可用来判定与证明3通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列4前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列变式训练记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；
8、(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q，由题设可得a1（1q）2，a1（1qq2）6.解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sna1（1qn）1q23(1)n2n13.由于Sn2Sn143(1)n2n32n23223（1）n2n132Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列考点3 等差数列的性质及应用(讲练互动)典例体验1(2019衡阳一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为()A6 B12 C24 D48解析：因为在等差数列an中，a13a8a15120，所以由等差数列的性质可得a13a8a155
9、a8120，所以a824，所以a2a142a848.故选D.答案：D2(2019惠州调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若a6a5 911，则S11S9()A1 B1 C2 D.12解析：由等差数列前n项和公式得S11S911（a1a11）29（a1a9）211a69a5，因为a6a5 911，所以S11S91，故选A.答案：A1项的性质(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaq2ak.(2)在等差数列an中，aman(mn)d amanmn d(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差2和的性质：在等差数列a
10、n中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)(2)S2n1(2n1)an.变式训练1(2019东北三省三校联考)等差数列an中，a1a3a539，a5a7a927，则数列an的前9项的和S9等于()A66 B99 C144 D297解析：根据等差数列的性质知a1a3a53a339，可得a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S99（a1a9）29（a3a7）299，故选B.答案：B2若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10解析：因为a1a2a334，an2an1an146
11、，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Snn（a1an）2n602390，即n13.答案：A考点4 等差数列前n项和及其最值(讲练互动)典例体验(2019厦门外国语中学月考)已知数列an的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100，当n为何值时，数列lg 1an 的前n项和最大？解：(1)令n1，得a 21 2S12a1，a1(a12)0，因为a10，所以a12，当n2时，2an2Sn，2an12Sn1，两式相减得2an2a
12、n1an(n2)，所以an2an1(n2)，从而数列an为等比数列，ana12n12n.(2)当a10，100时，由(1)知，an 2n100，设bnlg 1anlg 1002n lg 100lg 2n2nlg 2，所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，所以b1b2b6lg 10026 lg 10064 lg 10，当n7时，bnb7lg 10027 lg 10，所以数列lg 1an 的前6项和最大求等差数列前n项和Sn的最值的方法1函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值2邻项变号法：(1)当a10，d0时，满足am0，a
13、m10 的项数m使得Sn取得最大值，为Sm(当am10时，Sm1也为最大值)(2)当a10，d0时，满足am0，am10 的项数m使得Sn取得最小值，为Sm(当am10时，Sm1也为最小值)变式训练1(2019云南质检)已知等差数列an中，a111，a51，则an的前n项和Sn的最大值是()A15 B20 C26 D30解析：设数列an的公差为d，则d 14(a5a1)3，所以an113(n1)143n，令an143n0，解得n143，所以Sn的最大值为S4411432(3)26，故选C.答案：C2一题多解(2019合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，a81，S160，当Sn取最大值时n的值为()A7 B8 C9 D10解析：法一 由题意可得a8a17d1，S1616a116152d0，解得a115，d2，则Snn216n(n8)264，则当n8时，Sn取得最大值法二 因为an是等差数列，所以S168(a1a16)8(a8a9)0，则a9a81，即数列an的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)maxS8，故选B.答案：B