1、第五章 数 列 第三节 等比数列及其前n项和最新考纲考情索引核心素养1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.2018全国卷，T172017全国卷，T32017全国卷，T142016全国卷，T152016全国卷，T171.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比等于_(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列定义的符号表达式为_q(nN*，q 为非零常数)第 2 项同一个常数an1an(2)等比中项：如果 a，
2、G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项那么GabG，即 G2_ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，_a1anq1q，q1.a1qn13等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an_(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则aman_amqnmapaqa2k(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，1an，a2n，anbn，anbn(0)仍是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1由an1qan，q0，
3、并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.2三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为 xq3，xq，xq，xq3.3等比数列an的单调性(1)满足a10，q1，或a10，0q1，时，an是递增数列(2)满足a10，0q1，或a10，q1，时，an是递减数列(3)当a10，且q1时，an为常数列4在运用等比数列的前n项和公式时，若公比q的值不确定，应分q1，q1两种情况讨论1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数
4、列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sna（1an）1a.()答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A必修5P53A组T1(2)改编)已知an是等比数列，a22，a514，则公比q等于()A12B2C2 D.12(2)(人A必修5P54A组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：(1)由题意知q3a5a218，q12.(2)设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，所以q3.所以插入的两个数分别为9327，27381.答案：(1)D(2)27，813典题体验(1
5、)(2019安徽马鞍山教学质量监测)已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为()A2 B4C.92D6(2)(2019湖北省七市联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A8 B9C10 D11(3)(2019深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sna3n1b，则ab()A3 B1 C1 D3解析：(1)根据等比数列的性质可得a3a5a24，所以a244(a41)，即(a42)20，解得a42，又因为a11，a1a7a244，所以a74.故选B.(2)由题意得，2a5a618，a5a69，所以a1ama5a69，所以m10.(3)
6、因为等比数列an的前n项和Sna3n1b，所以a1S1ab，a2S2S13abab2a，a3S3S29ab3ab6a，因为等比数列an中，a22a1a3，所以(2a)2(ab)6a，解得ab3.故选A.答案：(1)B(2)C(3)A考点1 等比数列基本量的运算(自主演练)1(2019东北三省四市模拟)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A9 B15C18 D30解析：设等比数列an的公比为q(q0)，则2S32（a1a1qa1q2）8a13a1q，a1q316，解得q2，a12，所以S4 2（124）1230，故选D.答案：D2(2019
7、珠海模拟)Sn是正项等比数列an的前n项和，a318，S326，则a1()A2 B3C1 D6解析：设等比数列an的公比为q，因a318，S326，则有a3a3q a3q226，即1818q 18q2 26，可解得q3或q 34，又由数列an为正项等比数列，得q3，则a1a3q2189 2，故选A.答案：A3在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_解析：因为a12，an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，所以2（12n）12126，解得n6.答案：64(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S374，
8、S6634，则a8_解析：设等比数列an的公比为q.当q1时，S33a1，S66a12S3，不符合题意，所以q1，由题设可得a1（1q3）1q74，a1（1q6）1q634，解得a114，q2，所以a8a1q7142732.答案：32解决等比数列基本量运算的两种常用思想1方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解2分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sna1（1qn）1qa1anq1q.考点2 等比数列的判定与证明(讲练互动)
9、典例体验(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S53132，求.(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1 11，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以an1an 1.因此an是首项为 11，公比为 1的等比数列，于是an 111n1.(2)解：由(1)得Sn11n.由S53132得1153132，即15 132.解得1.等比数列常用的三种判定方法1定义法：若an1an q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列2等比中项法：若数列an中，an0，且a
10、2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练(2019合肥一中调研)数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列；(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解：(1)因为点(Sn，an1)在直线y3x1上，所以an13Sn1，an3Sn11(n1，且nN*)，an1an3(SnSn1)3an，所以
11、an14an，n1，a23S113a113t1，所以当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n)4n13n（n1）2.考点3 等比数列的性质及应用(讲练互动)典例体验1(2019武汉调研)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：由等比数列的性质知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a
12、2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故选B.答案：B2(2019云南11校调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A40 B60C32 D50解析：数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案：B1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：
13、一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练1(2019郑州模拟)已知等比数列an，且a6a84，则a8(a42a6a8)的值为()A2 B4C8 D16解析：因为a6a84，所以a8(a42a6a8)a8a42a8a6a28(a6a8)216.故选D.答案：D2一题多解设等比数列an的前n项和为Sn，若 S6S33，则S9S6_解析：法一 由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得S63S3，所以 S6S3S3 S9S6S6S3，即S9S64S3，S97S3，所以S9S673.法
14、二 因为an为等比数列，由 S6S3 3，设S63a，S3a，所以S3，S6S3，S9S6为等比数列，即a，2a，S9S6成等比数列，所以S9S64a，解得S97a，所以S9S67a3a73.答案：73核心素养欣赏 逻辑推理由课本一道习题引发的思考人教A版数学必修5第62页有这样一题：已知等比数列an的前n项和为Sn，求证S7，S14S7，S21S14也成等比数列证明：设等比数列an的公比为q.若q1，则Snna1，从而S77a1，S14S77a1，S21S147a1，显然有S7，S14S7，S21S14成等比数列若q1，则可设SnA(qn1)(A0)，从而S7A(q71)，S14S7Aq7(
15、q71)，S21S14Aq14(q71)，显然S7，S14S7，S21S14也成等比数列综上，S7，S14S7，S21S14必成等比数列以上结论可推广为：性质1 设Sn为等比数列an的前n项和，若k为奇数，则Sk，S2kSk，S3kS2k，也成等比数列本题说明了等比数列的一个性质：若一个数列为等比数列，则每隔奇数项求和，所得的和也为等比数列反思 对于一个等比数列，若每隔偶数项求和，所得的和是否也为等比数列呢？综合上面的证明过程，不难看出，当公比q1时，若k为偶数，则Sk0，Sk，S2kSk，S3kS2k，不可能为等比数列但除此以外，即q1时，对于一个等比数列，若每隔偶数项求和，所得的和必为等比
16、数列性质2 已知等比数列an的前n项和为Sn，当k为偶数(q1)时，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，且公比为qk0.有关公比为正这条性质，解题时容易被忽视【例】各项均为实数的等比数列an的前n项之和为Sn，若S1010，S3070，则S40()A150 B200C150或200 D400或50错解：本题常见的解法为：记b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30.由等比数列的性质可知，b1，b2，b3，b4也是一个等比数列，设公比为r，则70S30b1b2b3b1(1rr2)10(1rr2)，故r2r60，解得r2或r3.当r2时，S4010(122223)150.当r3时，S4010(133233)200.故本题答案为C.正解：实际上，答案C是错误的如果设q为等比数列an的公比，则新数列b1，b2，b3，b4的公比r b2b1 a11a12a20a1a2a10 q100，由此可见，r3应舍去，故正确答案应为A.