1、第五章 数 列 第三节 等比数列及其前n项和最新考纲考情索引核心素养1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.2018全国卷,T172017全国卷,T32017全国卷,T142016全国卷,T152016全国卷,T171.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从_起,每一项与它的前一项的比等于_(不为零),那么这个数列就叫做等比数列定义的符号表达式为_q(nN*,q 为非零常数)第 2 项同一个常数an1an(2)等比中项:如果 a,
2、G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项那么GabG,即 G2_ab2等比数列的有关公式(1)通项公式:an_(2)前 n 项和公式:Snna1,q1,_a1anq1q,q1.a1qn13等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an_(n,mN*)(2)若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),则aman_amqnmapaqa2k(3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an,1an,a2n,anbn,anbn(0)仍是等比数列(4)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为qk.1由an1qan,q0,
3、并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.2三个数成等比数列,通常设为xq,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为 xq3,xq,xq,xq3.3等比数列an的单调性(1)满足a10,q1,或a10,0q1,时,an是递增数列(2)满足a10,0q1,或a10,q1,时,an是递减数列(3)当a10,且q1时,an为常数列4在运用等比数列的前n项和公式时,若公比q的值不确定,应分q1,q1两种情况讨论1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a,b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数
4、列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan,则其前n项和为Sna(1an)1a.()答案:(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A必修5P53A组T1(2)改编)已知an是等比数列,a22,a514,则公比q等于()A12B2C2 D.12(2)(人A必修5P54A组T8改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_解析:(1)由题意知q3a5a218,q12.(2)设该数列的公比为q,由题意知,2439q3,q327,所以q3.所以插入的两个数分别为9327,27381.答案:(1)D(2)27,813典题体验(1
5、)(2019安徽马鞍山教学质量监测)已知等比数列an满足a11,a3a54(a41),则a7的值为()A2 B4C.92D6(2)(2019湖北省七市联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718,若a1am9,则m的值为()A8 B9C10 D11(3)(2019深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sna3n1b,则ab()A3 B1 C1 D3解析:(1)根据等比数列的性质可得a3a5a24,所以a244(a41),即(a42)20,解得a42,又因为a11,a1a7a244,所以a74.故选B.(2)由题意得,2a5a618,a5a69,所以a1ama5a69,所以m10.(3)
6、因为等比数列an的前n项和Sna3n1b,所以a1S1ab,a2S2S13abab2a,a3S3S29ab3ab6a,因为等比数列an中,a22a1a3,所以(2a)2(ab)6a,解得ab3.故选A.答案:(1)B(2)C(3)A考点1 等比数列基本量的运算(自主演练)1(2019东北三省四市模拟)等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S38a13a2,a416,则S4()A9 B15C18 D30解析:设等比数列an的公比为q(q0),则2S32(a1a1qa1q2)8a13a1q,a1q316,解得q2,a12,所以S4 2(124)1230,故选D.答案:D2(2019
7、珠海模拟)Sn是正项等比数列an的前n项和,a318,S326,则a1()A2 B3C1 D6解析:设等比数列an的公比为q,因a318,S326,则有a3a3q a3q226,即1818q 18q2 26,可解得q3或q 34,又由数列an为正项等比数列,得q3,则a1a3q2189 2,故选A.答案:A3在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前n项和若Sn126,则n_解析:因为a12,an12an,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列又Sn126,所以2(12n)12126,解得n6.答案:64(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S374,
8、S6634,则a8_解析:设等比数列an的公比为q.当q1时,S33a1,S66a12S3,不符合题意,所以q1,由题设可得a1(1q3)1q74,a1(1q6)1q634,解得a114,q2,所以a8a1q7142732.答案:32解决等比数列基本量运算的两种常用思想1方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解2分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q1时,an的前n项和Snna1;当q1时,an的前n项和Sna1(1qn)1qa1anq1q.考点2 等比数列的判定与证明(讲练互动)
9、典例体验(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S53132,求.(1)证明:由题意得a1S11a1,故1,a1 11,a10.由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)an.由a10,0得an0,所以an1an 1.因此an是首项为 11,公比为 1的等比数列,于是an 111n1.(2)解:由(1)得Sn11n.由S53132得1153132,即15 132.解得1.等比数列常用的三种判定方法1定义法:若an1an q(q为非零常数,nN*),则an是等比数列2等比中项法:若数列an中,an0,且a
10、2n1anan2(nN*),则数列an是等比数列3通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练(2019合肥一中调研)数列an的前n项和记为Sn,a1t,点(Sn,an1)在直线y3x1上(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列;(2)在(1)的结论下,设bnlog4an1,cnanbn,Tn是数列cn的前n项和,求Tn.解:(1)因为点(Sn,an1)在直线y3x1上,所以an13Sn1,an3Sn11(n1,且nN*),an1an3(SnSn1)3an,所以
11、an14an,n1,a23S113a113t1,所以当t1时,a24a1,数列an是等比数列(2)在(1)的结论下,an14an,an14n,bnlog4an1n,cnanbn4n1n,Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n)4n13n(n1)2.考点3 等比数列的性质及应用(讲练互动)典例体验1(2019武汉调研)等比数列an的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析:由等比数列的性质知a5a6a4a79,所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a
12、2a3a10)log3(a5a6)5log39510,故选B.答案:B2(2019云南11校调研)已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1a2a34,a4a5a68,则S12()A40 B60C32 D50解析:数列S3,S6S3,S9S6,S12S9是等比数列,即数列4,8,S9S6,S12S9是首项为4,公比为2的等比数列,则S9S6a7a8a916,S12S9a10a11a1232,因此S1248163260.答案:B1在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类:
13、一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练1(2019郑州模拟)已知等比数列an,且a6a84,则a8(a42a6a8)的值为()A2 B4C8 D16解析:因为a6a84,所以a8(a42a6a8)a8a42a8a6a28(a6a8)216.故选D.答案:D2一题多解设等比数列an的前n项和为Sn,若 S6S33,则S9S6_解析:法一 由等比数列的性质知S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,由已知得S63S3,所以 S6S3S3 S9S6S6S3,即S9S64S3,S97S3,所以S9S673.法
14、二 因为an为等比数列,由 S6S3 3,设S63a,S3a,所以S3,S6S3,S9S6为等比数列,即a,2a,S9S6成等比数列,所以S9S64a,解得S97a,所以S9S67a3a73.答案:73核心素养欣赏 逻辑推理由课本一道习题引发的思考人教A版数学必修5第62页有这样一题:已知等比数列an的前n项和为Sn,求证S7,S14S7,S21S14也成等比数列证明:设等比数列an的公比为q.若q1,则Snna1,从而S77a1,S14S77a1,S21S147a1,显然有S7,S14S7,S21S14成等比数列若q1,则可设SnA(qn1)(A0),从而S7A(q71),S14S7Aq7(
15、q71),S21S14Aq14(q71),显然S7,S14S7,S21S14也成等比数列综上,S7,S14S7,S21S14必成等比数列以上结论可推广为:性质1 设Sn为等比数列an的前n项和,若k为奇数,则Sk,S2kSk,S3kS2k,也成等比数列本题说明了等比数列的一个性质:若一个数列为等比数列,则每隔奇数项求和,所得的和也为等比数列反思 对于一个等比数列,若每隔偶数项求和,所得的和是否也为等比数列呢?综合上面的证明过程,不难看出,当公比q1时,若k为偶数,则Sk0,Sk,S2kSk,S3kS2k,不可能为等比数列但除此以外,即q1时,对于一个等比数列,若每隔偶数项求和,所得的和必为等比
16、数列性质2 已知等比数列an的前n项和为Sn,当k为偶数(q1)时,Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列,且公比为qk0.有关公比为正这条性质,解题时容易被忽视【例】各项均为实数的等比数列an的前n项之和为Sn,若S1010,S3070,则S40()A150 B200C150或200 D400或50错解:本题常见的解法为:记b1S10,b2S20S10,b3S30S20,b4S40S30.由等比数列的性质可知,b1,b2,b3,b4也是一个等比数列,设公比为r,则70S30b1b2b3b1(1rr2)10(1rr2),故r2r60,解得r2或r3.当r2时,S4010(122223)150.当r3时,S4010(133233)200.故本题答案为C.正解:实际上,答案C是错误的如果设q为等比数列an的公比,则新数列b1,b2,b3,b4的公比r b2b1 a11a12a20a1a2a10 q100,由此可见,r3应舍去,故正确答案应为A.