1、第三讲平面向量 一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|
2、；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.巧用系数判共线(，R)，若A，B，C三点共线，则1；反之，也成立四、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底五、平面向量的
3、坐标运算及向量平行的坐标表示1平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)2向量平行的坐标表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件为x1y2x2y10.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共线向量的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为
4、x1y2x2y10.六、平面向量的数量积1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2向量的投影：设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积七、平面向量数量积的运算律1交换律：abba；2数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律：a(bc)abac.八、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b
5、(x2，y2)，为向量a，b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|基础自测1已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C. D15【解析】ab，4y400，y10.【答案】B2已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，设a与b的夹角为，则cos ，.【答案】C考点一 平面向量的概念与运算例
6、 (1)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.(2)(2013山东高考)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【自主解答】(1)a(，1)，b(0，1)，a2b(，3)又(a2b)c，且c(k，)从而3k0，k1.(2)，又，0.则()()(1)22(1)32940，.【答案】(1)1(2)跟踪练习：(1)（2013湖北）已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D(2)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.abB.abC.ab D.ab【
7、解析】(1)本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos，|，故选A.(2) 如图，ab0，ab，ACB90，AB.又CDAB，AC2ADAB，AD.(ab)ab.考点二 平面向量的数量积例 12014山东卷 已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A2 B.C0 D答案：B解析 由题意得cos ，即，解得m.2、2014新课标全国卷 设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2C3 D5答案A解析 由已知得|ab|10，|ab|2b，两式相减，得ab1.跟踪
8、练习：已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】|a|1，|b|2，ab0|2ab|2.【答案】B(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_【解析】设AB的长为a(a0)，因为，于是()22a2a1，由已知可得a2a11.又a0，a，即AB的长为.考点三 平面向量与三角函数交汇问题例（2013辽宁，12分）设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.