1、第四节二次函数与幂函数考情展望1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题一、二次函数1二次函数的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点2二次函数的性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在减在增在减在增对称性函数的图象关于x对称函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于函数yf(x)对定
2、义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)二、幂函数1定义：形如yx(R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，是常数2幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇/奇单调性增在(0，)上增在(，0)上减增增在(0，)上减在(，0)上减定点(1,1)1当0,1时，幂函数yx在第一象限的图象特征(如图所示)：(1)1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递
3、增，如yx2；(2)01，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如yx；(3)0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如yx1，yx.2幂函数的图象一定不会经过第四象限1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x【解析】设f(x)x，则有3，即33，1，2，f(x)x2，故选B.【答案】B2图241中C1，C2，C3为三个幂函数yxk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()图241A1，3 B1,3，C.，1,3 D.，3，1【解析】根据幂函数的图象知，选A.【答案】A3函数f(x)(m1)
4、x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增【解析】f(x)(m1)x22mx3为偶函数，2m0，m0.则f(x)x23在(5，3)上是增函数【答案】D4函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_【解析】二次函数f(x)的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.【答案】(，25(2011陕西高考)函数yx的图象是()【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断【答案】B6(2013浙江高考)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab
5、0 Daf(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0，故选A.【答案】A考向一 019二次函数的图象与性质已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间【尝试解答】(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，则函数在4,2)上为减函数，在(2,6上为增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(
6、4)(4)24(4)335.(2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.(3)当a1时，f(|x|)x22|x|3其图象如图所示：又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数规律方法11.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.2. 求二次函数最值的类型及解法,(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分
7、类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.对点训练(1)已知函数yax2bxc，如果abc，且abc0，则它的图象是()(2)设f(x)x22ax(0x1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)试求M(a)及m(a)的表达式【解析】(1)abc，abc0，a0，c0，yax2bxc的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上D项正确【答案】D(2)f(x)x22ax(xa)2a2，x0,1当a0时，M(a)f(1)12a，m(a)f(0)0；当0a时，M(a)f(1)12a，m(a)a2；当a1时，M(a)f(0)0，m(a)a2；当a1时，
8、M(a)f(0)0，m(a)f(1)12a.综上，M(a)m(a)考向二 020二次函数的综合应用设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围【思路点拨】法一分a0，a0，a0三种情况求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min0求解法二分离参数a得a，然后求g(x)的最大值即可【尝试解答】法一当a0时，f(x)a22，由f(x)0，x(1,4)得：或或或或，a1或a1或，即a，当a0时，解得a；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合题意综上可得，实数a的取值范围是a.法二由f(x)0，即ax22x20，x(1,
9、4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可规律方法21.本例中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论.2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.对点训练若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求
10、实数m的取值范围【解】(1)由f(0)1，得c1.因此f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x.2axab2x.xR.因此所以f(x)x2x1.(2)由题意，x2x12xm在1,1上恒成立则mx23x1在1,1上恒成立，令g(x)x23x1，x1,1，易知g(x)在x1,1上是减函数，g(x)ming(1)1，应有m1.因此实数m的取值范围是(，1)考向三 021幂函数及其性质(1)函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)上是减函数，则实数m的值为()A2B3C4D5(2)若a0，则下列不等式成立的是()A2aa(0.2)a B(0.2)aa2aC.a(0.2)a2a
11、 D2a(0.2)aa【思路点拨】(1)m2m11求m的值验证单调性对m的值取舍(2)构造函数yx比较a与(0.2)a的大小进而比较2a与a、(0.2)a的大小【尝试解答】(1)由题意知m2m11，解得m2或m1，当m2时，m22m33，f(x)x3符合题意，当m1时，m22m30，f(x)x0不合题意综上知m2.(2)a0，yxa在(0，)上是减函数，0.2aa2a，故选B.【答案】(1)A(2)B规律方法31.熟知幂函数的定义和单调性是解答此类问题的关键2幂的大小比较的常用方法分类考查对象方法底数相同，指数不同ax1与ax2利用指数函数yax的单调性指数相同，底数不同x与x利用幂函数yx的
12、单调性底数、指数都不同ax1与bx2寻找中间变量0,1或bx1或ax2思想方法之四数形结合思想在二次函数中的妙用二次函数是数形结合的完美载体，利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题：(1)二次函数的单调区间；(2)二次函数在给定区间上的最值；(3)借助二次函数求参数的范围；(4)与二次函数相关的图象交点个数问题解决以上问题的关键是准确做出二次函数的图象，结合图象求解1个示范例1个对点练(2013辽宁高考)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，m
13、inp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16B16Ca22a16 Da22a16【解析】f(x)顶点坐标为(a2，4a4)，g(x)顶点坐标(a2，4a12)，并且f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图，由题意知，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以AB(4a4)(4a12)16.(2012山东高考)设函数f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A当a0时，x1x20B当a0，y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20，y1y20【解析】在同一坐标系内画出f(x)及g(x)x2bx的草图如图所示，其中点A(x1，y1)关于原点的对称点C也在函数y的图象上，坐标为(x1，y1)，而点B的坐标(x2，y2)在图象上也明显的显示出来由图象可知，x1x20，y1y20.【答案】B