1、第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分与微积分基本定理最新考纲考情索引核心素养1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.2015天津卷，T112015福建卷，T82015陕西卷，T161.数学运算2.直观想象1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i1，2，n)，作和式i1nf（i）xi1n ban f(i)，当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即baf(x)dxi1n b
2、an f(i)baf(x)dx(2)相关概念：在baf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做_，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做_，f(x)dx 叫做被积式积分区间积分变量(3)定积分的几何意义.f(x)baf(x)dx 的几何意义f(x)0表示由直线 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的_的面积曲边梯形f(x)0表示由直线 xa，xb，y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的_f(x)在a，b上有正有负表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积_位于 x 轴下方的曲边梯形的面积相反数减去2.定积分的性质(1)bakf(x)dx_(k 为常数)；(2
3、)baf1(x)f2(x)dx_；(3)baf(x)dx_bcf(x)dx(其中 acb)kbaf(x)dxf1(x)dxbaf2(x)dxcaf(x)dx3微积分基本定理一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么abf(x)dx_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把 F(b)F(a)记为 F(x)|ba，即abf(x)dxF(x)|ba_F(b)F(a)F(b)F(a)1函数 f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若 f(x)为偶函数，则aa f(x)dx20af(x)dx.(2)若 f(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.2若积分式
4、子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则abf(x)dxabf(t)dt.()(2)曲线 yx2 与 yx 所围成的面积是01(x2x)dx.()(3)若abf(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x轴所围成的图形一定在 x 轴下方()(4)定积分abf(x)dx 一定等于由 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积()(5)加速度对时间的积分是路程()解析：(2)yx2 与
5、yx 所围成的面积是01(xx2)dx.(3)若abf(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x轴所围 成的图形在 x 轴下方的面积比在 x 轴上方的面积大(4)定积分abf(x)dx 等于由 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成图形的面积的代数和(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人 A 选修 22P50A 组 T5 改编)定积分11|x|dx()A1 B2 C3 D4(2)(人 A 选修 22P60A6 改编)已知质点的速度 v10t，则从 t0 到 tt0 质点所经过的路程是()A10t20B5t
6、20C.103 t20D.53t20解析：(1)11|x|dx10(x)dx01xdx201xdxx2|101.(2)S0t0vdt0t010tdt5t2|5t20.答案：(1)A(2)B3典题体验(1)(2019淮南一模)求曲线 yx2 与 yx 所围成的封闭图形的面积 S，正确的是()AS01(x2x)d xBS01(xx 2)d xCS01(y 2y)d yDS01(y y)d t(2)(2019韶关调研)若 a02x2d x，b02 x 3 d x，c02sin x d x，则 a，b，c 的大小关系是()AacbBabcCcbaDcab(3)(2019济南外国语中学调研)若01(ex
7、2ax)dxe，则 a_解析：(1)两函数图象的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故对 x 积分时，积分上限是 1，下限是 0，由于在0，1上，xx 2，故曲线 yx 2 与 yx 所围成的封闭图形的面积 S01(xx 2)dx(同理可知对 y 积分时，S01(yy)dy)(2)由微积分基本定理 a02x2dx13x3|2083，b02x3dx14x4|204，c02sin xdx(cos x)|201cos 22，则 cab.(3)由微积分基本定理可知01(ex2ax)dx(exax2)|10ea1e，所以a10，所以 a1.答案：(1)B(2)D(3)1考点 1 定积分的计算(典例迁移)典
8、例体验1(2019厦门模拟)定积分22|x22x|dx()A5 B6 C7 D8解析：22|x22x|dx20(x22x)dx02(2xx2)dxx33 x2|02x2x33|208344838.答案：D2(2019青岛模拟)若1a2x1x dx3ln 2(a1)，则a 的值是_解析：1a2x1x dx1a2xdx1a1xdxx2|a1ln x|a1a21ln a3ln 2，所以a213，ln aln 2，解得 a2.答案：23.0(sin xcos x)dx_解析：0(sin xcos x)dx0sin xdx0cos xdx(cos x)|0sin x|02.答案：2迁移探究1若将(典例
9、1)中的被积函数“f(x)|x22x|”变为f(x)x1x2，试求定积分11 f(x)dx.解：因为111x2dx 表示单位圆位于 x 轴上方的半圆面积，所以111x2dx2.则11 f(x)dx11 xdx111x2dxx22|112022.2若将(典例 3)的条件变为“(sin xacos x)dx2”，求实数 a 的值解：因为(asin xcos x)sin xacos x.所以(sin xacos x)dx(asin xcos x)asin 2cos 2(asin 0cos 0)a12.所以 a1.1运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求
10、被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错2根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分考点 2 利用定积分计算平面图形的面积(讲练互动)典例体验1(2019郑州模拟)曲线 y2sin x(0 x)与直线 y1 围成的封闭图形的面积为_解析：令 2sin x1，得 sin x12，当 x0，时，得 x6或 x56，所以所求面积 S(2sin x1)dx(2cos xx)2 323.答案：2 3232一题多解由抛物线 y22x 与直线 yx4 围成的平面图形的面
11、积为_解析：如图所示，解方程组y22x，yx4，得两交点为(2，2)，(8，4)法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影面部分的面积 S 可看作两部分面积之和，即 S202 2xdx28(2xx4)dx18.法二 选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S24y412y2 dy18.答案：183已知曲线 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则 k_解析：由yx2，ykx得x0，y0，或xk，yk2，则曲线 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为0k(kxx2)dxk2x213x3|k0k32 13k343，即 k38，所以 k2.答案：2利
12、用定积分求解曲边图形的面积，关键把握住两点：一是准确确定被积函数，一般的原则是“上”“下”，即根据曲边图形的结构特征，用上方曲线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定积分的上下限，应为曲线图形左右两边对应的点的横坐标，上下限的顺序不能颠倒变式训练1(2019衡水中学六调)曲线 yx33x 和直线 yx所围成的图形的面积是_解析：由yx33x，yx，得交点的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(2，2)，作出草图如图，可知曲线 yx33x 和直线 yx 围成图形的面积 S202x(x33x)dx202(4xx3)dx22x214x4|202(84)8.答案：82.已知二次函数
13、 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围成的面积为_解析：根据 f(x)的图象可设 f(x)a(x1)(x1)(a0)因为 f(x)的图象过(0，1)点，所以a1，即 a1.所以 f(x)(x1)(x1)1x2.所以 S11(1x2)dx201(1x2)dx2x13x3|102113 43.答案：43考点 3 定积分在物理中的应用(自主演练)1(2019郑州一模)汽车以 v(3t2)m/s 做变速运动时，在第 1 s 至第 2 s 之间的 1 s 内经过的路程是()A.132 m B6 mC.152 m D.7 m解析：s12(3t2)dt32t22t|213244322 1072132
14、(m)答案：A2一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2解 析：由 v(t)7 3t 251t 0，可 得 t 4t83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s，在此期间行驶的距离为04v(t)dt0473t 251t dt7t32t225ln（1t）|40425ln 5.答案：C3设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10，已知 F(x)x21 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x的单位：m，力的单位：N)解析：变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为W101 F(x)dx101(x21)dx13x3x|101 342(J)答案：342定积分在物理中的两个应用1变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的位移 sabv(t)dt.2变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是WabF(x)dx.