1、第14练三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象例1 (2013四川)函数f(x)2sin(x)(0，0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值破题切入点(1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin
2、2xcos 2xsin 2xsin.依题意知4，0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.题型三三角函数图象的变换例3已知函数f(x)sin(x)，其中0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m_.破题切入点由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出，再由平移后为偶函数得出m的最小值答案解析依题意，可得，又T，故3，所以f(x)sin(3x)函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)sin3(xm)g(x)是
3、偶函数当且仅当3mk(kZ)，即m(kZ)，从而最小正实数m.总结提高(1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值周期定：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T求解.最值点定：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解的取值，注意利用中心点求解时，要验证该点所在的单调区间以确定，否则会产生增解(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|而不是，单调
4、性要将x的系数化成正的本部分题目注意要将x当作一个整体(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把x写成(x)最后确定平移的单位和方向伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分1已知函数yAsin(x)k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin(4x)By2sin(2x)2Cy2sin(4x)2Dy2sin(4x)2答案D解析由题
5、意得解得又函数yAsin(x)k的最小正周期为，所以4，所以y2sin(4x)2.又直线x是函数图象的一条对称轴，所以4 k(kZ)，所以k(kZ)，故可得y2sin(4x)2符合条件，所以选D.2已知函数f(x)sin2xsin xcos x，xR，又f()，f()，若|的最小值为，则正数的值为()A. B. C. D.答案B解析f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，又由f()，f()，且|的最小值为可知T3，于是.3函数f(x)Asin(x)(其中A0，|)的图象如图所示，为了得到g(x)sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单
6、位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析由题意，得函数f(x)的周期T4，3，所以sin1，又|0，|0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析f(x)和g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即2，f(x)3sin(2x)x0，2x，sin(2x)，1，f(x)，38(2014北京)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性，T.ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.9函
7、数f(x)sin(xR)的图象为C，以下结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)图象C关于直线x对称；图象C关于点对称；函数f(x)在区间内是增函数；由ysin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案解析当x时，fsinsinsin 1，为最小值，所以图象C关于直线x对称，所以正确；当x时，fsinsin 0，图象C关于点对称，所以正确；当x时，2x，此时函数单调递增，所以正确；ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin 2sin，所以错误，所以正确的是.10已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x
8、2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到ysin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象所以g(x)sin.令2xt，0x，t.g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)si
9、n t与yk在区间上有且只有一个交点如图，由正弦函数的图象可知k或k1.所以0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g()(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x.当xa，)时，h(x)有最小值为3，求a的值解(1)由题意，得22，所以1.又A2g()2tan 2tan 2，所以f(x)2sin(x)令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin2(x)2cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin(2x)，又h(x)有最小值为3，所以有32sin(2x)3，即sin(2x).因为xa，)，所以2x2a，)，所以2a，即a.