1、第9练分段函数，剪不断理还乱题型一分段函数的值域问题例1函数f(x)的值域为_破题切入点求各段值域，然后求并集答案(，2)解析因为当x1时，f(x)log2log2x0，当x1时，0f(x)2x2，所以函数f(x)的值域为(，2)题型二分段函数的零点问题例2(2014济南4月高三模拟)已知函数f(x)则关于x的方程f2(x)bf(x)c0有5个不同实数解的充要条件是()Ab0 Bb2且c0Cb2时，f(x)b0有四个根，满足题意，所以b0时，x0时，f(x)x22x(x1)21，当x1，)时，f(x)单调递减；当x(0,1时，f(x)单调递增当x0时，f(x)x22x(x1)21，当x(，1时
2、，f(x)单调递减；当x1,0)时，f(x)单调递增综上知：函数f(x)在1,1上单调递增又函数f(x)在区间1，a2上单调递增解之得11时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.2已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2答案D解析由题意，得解得0a2.3设函数g(x)x22(xR)，f(x) 则f(x)的值域是()A，0(1，) B0，)C，) D，0(2，)答案D解析由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)当x2；当x2时，f(x)8.当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2
3、，)当1x2时，f(x)0.当x1,2时，函数的值域为，0综上可知，f(x)的值域为，0(2，)4已知f(x) 则下列函数的图象错误的是()答案D解析先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，再将函数yf(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确5设函数f(x)若f(m)f(m)，则实数m
4、的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案D解析方法一若m0，则mf(m)，得log2mlog2m，即log2m0,0m1；若m0，f(m)log(m)log2(m)，f(m)log2(m)，由f(m)f(m)得log2(m)log2(m)，解得mf(2)不成立，排除B，C.当m2时，f(2)f(2)成立所以排除A，故选D.6对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2(1，)B(，2(1，)C(1，)(，)D(1，)，)答案B解
5、析f(x)即f(x)f(x)的图象如图所示，由图象可知B正确7已知函数f(x)则f(3)的值为_答案2解析f(3)f(1)1f(1)22.8已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_答案1a3a26a93a2，解得1a3.9已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)k有两个不同的实根，也即函数yf(x)的图象与yk有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)10设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_答
6、案10解析因为f(x)的周期为2，所以fff，即ff.又因为fa1，f，所以a1.整理，得a(b1)又因为f(1)f(1)，所以a1，即b2a.将代入，得a2，b4.所以a3b23(4)10.11(2013四川)已知函数f(x)其中a是实数，设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围解(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1,0)，(0，)(2)由导数的几何意
7、义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，又当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2，因为x1x20，所以(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条
8、件是由及x10x2知，02.由得，aln x221ln21.令t，则0t2，且at2tln t.设h(t)t2tln t(0t2)，因为h(t)t10，所以h(t)(0th(2)ln 21，aln 21.而当t(0,2)且趋近于0时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)，故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，)12(2013湖南)已知a0，函数f(x).(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数yf(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；
9、若不存在，请说明理由解(1)当0xa时，f(x)；当xa时，f(x).因此，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0).若0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增所以g(a)maxf(0)，f(4)而f(0)f(4)，故当0a1时，g(a)f(4)；当1a4时，g(a)f(0).综上所述，g(a)(2)由(1)知，当a4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求当0a4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增若存在x1，x2(0,4)(x1x2)，使曲线yf(x)在(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点处的切线互相垂直则x1(0，a)，x2(a,4)，且f(x1)f(x2)1.即1.亦即x12a.(*)由x1(0，a)，x2(a,4)得x12a(2a,3a)，.故(*)成立等价于集合Ax|2ax3a与集合B的交集非空因为3a，所以当且仅当02a1，即0a时，AB.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.