1、专题3 函数与导数第6练 夯基础熟练掌握基本初等函数题型分析高考展望基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，难度为中档.在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用.对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略.常考题型精析 高考题型精练 题型一 指数函数的图象与性质 题型二 对数函数的图象与性质 题型三 幂函数的图象和性质 常考题型精析 题型一 指数函数的图象与性质 指数函数性质：指数函数yax(a0且a1)为单调函数；当a1时在(，)上为增函数，当0a1时，在(，)上为减函数；指数函数yax为非奇非偶函数，值
2、域y(0，).例1(1)设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为_.解析 由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，根据幂函数在区间(0，)上为增函数，得cab.ca0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_.解析 方程|ax1|2a(a0且a1)有两个实根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点.当0a1时，如图(1)，02a1，即 0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求.综上，0a12.答案 0，12点评(1)指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)数形结合思想是解决函
3、数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决.变式训练1(1)(2015山东改编)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是_.解析 根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.60.601，根据指数函数y1.5x在R上单调递增可得1.50.61.501，bac.bac(2)(2015江苏)不等式4的解集为_.解析 422，x2x2，即x2x20，解得1x0且a1)基本性质：过定点(1,0)；a1时在(0，)上单调递增，0a1时在(0，)上单调递减；0a1时，x(1，)，y0；a1时
4、，x(1，)，y0，x(0,1)，y0；ylogax，x(0，)，yR，是非奇非偶函数.例2(1)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y x，yx，y的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为_.22log1222x解析 由条件得，点 A 在函数 yx 的图象上，从而由 2 x 得 xA12.22log22log而点 B 在函数 yx 上，从而 2x ，1212又点 C 在函数 y22x上，解得xB4.于是点C的横坐标为4.从而 yC14，于是点 D 的坐标为12，14.答案 12，14 (2)当 0 x 时，4x1时不满足条件，12当 0a1 时，
5、画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1.答案 22，1点评 对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论.解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解.变式训练2(1)(2015四川改编)设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的_条件.解析 若ab1，那么log2alog2b0；若log2alog2b0，那么ab1，所以可判断“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件.充要(2)设函数 f(x)logx，x0，log2x，xf(a)，则实数a的取值范围是_.解析 若 a
6、0，则 log2alog a，即2log2a0，所以a1.若 alog2(a)，121212即2log2(a)0，所以0a1，解得1a1或1a0，即a(1,0)(1，).答案(1,0)(1，)题型三 幂函数的图象和性质 例3(2014重庆改编)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是_.1x13，x1，0，x，x0，1，解析 作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2).因为直线ymxmm(x1)恒过定点C(1,0)，故当直线ym(x1)在AC位置时，m12，可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的
7、交点(直线ym(x1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m ，g(x)有两个不同的零点.当直线ym(x1)过点B时，m2；当直线ym(x1)与曲线f(x)相切时，12联立y 1x13，ymx1，得 mx2(2m3)xm20，由(2m3)24m(m2)0，解得m94，可知当ym(x1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时941”是“x31”的_条件.解析 由于函数f(x)x3在R上为增函数，所以当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立.因此“x1”是“x31”的充要条件.充要(2)已知定义域为 R 的函数 f(x)1|
8、x1|，x1，1，x1，若关于 x的方程 f2(x)bf(x)c0 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3，则 x21x22x23_.解析 作出f(x)的图象，由图知，只有当f(x)1时有3个不同的实根；关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实数解x1，x2，x3，必有f(x)1，从而x11，x22，x30，故可得 x21x22x235.答案 5 高考题型精练 1.(2015 重庆改编)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是_.解析 需满足x22x30，解得x1或x3，所以f(x)的定义域为(，3)(1，).123456789101112(，3)(1，)2.(2015课标全国改
9、编)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a_.解析 设f(x)上任意一点为(x，y)，关于yx的对称点为(y，x)，将(y，x)代入y2xa，所以yalog2(x)，由f(2)f(4)1，得a1a21,2a4，a2.高考题型精练 12345678910111223.(2014山东改编)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是_.a1，c1；a1,0c1；0a1；0a1,0c1.解析 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1,0cbc.abc5.(2014安徽改编)设alog37，b21.1，c
10、0.83.1，则a，b，c的大小关系为_.解析 alog37，1a2.c0.83.1，0c1.故cab.高考题型精练 123456789101112cab高考题型精练 1234567891011126.若 log2a1a21a 12时，01a21a 11a21a0a1，12a1；当 0a1，高考题型精练 123456789101112无解.综上可知，a12，1.答案 12，1即1a21aa1或a0.7.(2015北京改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_.高考题型精练 123456789101112解析 令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(
11、x)图象如图.由xy2，ylog2x1，得x1，y1.高考题型精练 123456789101112结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|11时，yxa与ylogax均为增函数，但yxa递增较快，排除；当0a1时，yxa为增函数，ylogax为减函数，排除.由于yxa递增较慢，所以正确.答案 1234567891011129.已 知 0a1，则 函 数 f(x)ax|logax|的 零 点 个 数 为_.高考题型精练 解析 分别画出函数yax(0a1)与y|logax|(0a1.首先作出函数 y121x，x1，12x1，x1的图象，如图所示.高考题型精练 1234567891011
12、12由图象可知要使函数 y121xm，x1，12x1m，x1的图象与 x轴有公共点，则 m1,0).答案 1,0)11.已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_.高考题型精练 123456789101112log2x，x0，3x，x0，解析 画出函数yf(x)与yax的图象，如图所示，所以a1.(1，)12.定义两个实数间的一种新运算“*”：x*yln(exey)，x，yR.当x*xy时，x.对任意实数a，b，c，给出如下命题：a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)；(a*b)c(ac)*(bc)；(a*b)*ca*(b*c)；高考题型精练 1
13、23456789101112*y高考题型精练 123456789101112*a*bab2.其中正确的命题有_.(写出所有正确的命题序号)解析 因为a*bln(eaeb)，b*aln(ebea)，所以a*bb*a，即对；因为(a*b)cln(eaeb)cln(eaeb)ec ln(eacebc)(ac)*(bc)，所以对；只需令中的c为c，即有结论(a*b)c(ac)*(bc)，所以对；因为(a*b)*cln(eaeb)*clnec ln(eaebec)，a*(b*c)a*ln(ebec)lnea ln(eaebec)，所以(a*b)*ca*(b*c)，即对；高考题型精练 123456789101112ln(e+e)eabln(e+e)ebc高考题型精练 123456789101112设*a*bx，则 x*xa*b，所以ln(exex)ln(eaeb)，所以2exeaeb，所以 xln eaeb2，即*a*bln eaeb2ln 2 eaeb2ab2，故对.高考题型精练 123456789101112故正确的命题是.答案
