1、第二章 函数、导数及其应用 第 2 课时 利用导数研究函数的极值、最值(基础课)考点 1 求函数的极值(讲练互动)典例体验(2019泉州质检)已知函数 f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)由 f(x)x1aex，得 f(x)1aex.又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 f(1)0，即 1ae0，解得 ae.(2)f(x)1aex，当 a0 时，f(x)0，f(x)为(，)上的单调递增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f(x
2、)0，得 exa，即 xln a，当 x(，ln a)时，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值1求函数 f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数 f(x)(3)解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根(4)列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0 左右两侧值的符号如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值；如果左负右正，那么 f
3、(x)在 x0 处取极小值2可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论变式训练(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3D1解析：函数 f(x)(x2ax1)ex1，则 f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由 x2 是函数 f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以 a1.所以 f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(
4、x2x2)由 ex10 恒成立，得 x2 或 x1 时，f(x)0，且 x0；2x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.故选 A.答案：A考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动)典例体验(2019广东五校联考)已知函数 f(x)axln x，其中 a为常数(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11x1xx，令 f(x)0，得 x1.当 0 x0；当 x1 时，f(x)
5、1e，则 f(x)0，从而 f(x)在(0，e上是增函数，所以 f(x)maxf(e)ae10，不合题意若 a0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得 0 x1a；由 f(x)0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得1axe.从而 f(x)在0，1a 上为增函数，在1a，e 上为减函数，所以 f(x)maxf1a 1ln1a.令1ln1a 3，得 ln1a 2，所以1ae2，即 ae2.因为e212，则当 x(1a，2)时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a12，则当 x(0，2)时，x20，ax112x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是(1
6、2，)1本题利用导数的几何意义曲线在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a 值，切记，需检验切线是否与 x轴重合2可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点因此由极值求参数必须检验导函数零点左右两侧的符号变式训练(2019邯郸调研)已知函数 f(x)ln x.(1)求 f(x)图象的过点 P(0，1)的切线方程；(2)若函数 g(x)f(x)mxmx存在两个极值点 x1，x2，求 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1x.设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为 y 1x0 xln x
7、01.把点 P(0，1)代入切线方程，得 ln x00，所以 x01，所以过点 P(0，1)的切线方程为 yx1.(2)因为 g(x)f(x)mxmxln xmxmx，所以 g(x)1xmmx2xmx2mx2mx2xmx2，令 h(x)mx2xm，要使 g(x)存在两个极值点 x1，x2，则方程 mx2xm0 有两个不相等的正数根 x1，x2.故只需满足h（0）0，12m0，h12m 0，即可，解得 0m0，f(x)单调递增，当 x2，52 时，f(x)0，f(x)单调递减，故当 x2 时，f(x)取得最大值 80，则 V 3 804 15.所以三棱锥体积的最大值为 4 15 cm3.答案：4
8、 152(2019衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为v1031(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式；(2)若 cv15(c0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少解：(1)由题意，下潜用时60v(单位时间)，用氧量为v1031 60v 3v250 60v(升)，水底作业
9、时的用氧量为 100.99(升)，返回水面用时60v2120v(单位时间)，用氧量为120v 1.5180v(升)，因此总用氧量 y3v250 240v 9(v0)(2)y6v50240v2 3（v32 000）25v2，令 y0 得 v103 2，当 0v103 2时，y0，函数单调递减；当 v103 2时，y0，函数单调递增若 c103 2时，函数在(c，103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增所以当 v103 2时，总用氧量最少若 c103 2时，则函数在c，15上单调递增，所以当 vc 时，总用氧量最少1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式 yf(x)，并确定其定义域(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0.(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题作答2如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点