1、第42练随机变量及其分布列内容精要随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望与方差，二项分布及其应用和正态分布对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布题型一离散型随机变量的期望和方差例12014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为.(1)求甲队分别
2、战胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列和数学期望破题切入点(1)利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P1，P2；(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其期望解(1)根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获第一名的概率为P1P2.乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获第一名的概率为(1P1).解，得P1，代入，得P2，所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率为.(2)可能取的值为0,
3、3,6，当0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(0)(1)(1)；当3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3)(1)(1)；当6时，甲队两场皆胜，其概率为P(6).所以的分布列为036P所以E()036.题型二相互独立事件的概率例2红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E()破题切入点设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则第(1)问就是求事件DEDFEFDE
4、F的概率，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算第(2)问中的可取0,1,2,3，分别对应事件 ， FED ，DEDFEF，DEF，求出其概率就得到了的分布列，然后按照数学期望的计算公式求数学期望解(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(D
5、F)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意，知的可能取值为0,1,2,3.因此P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式，得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为0123P0.10.350.40.15因此E()00.110.3520.430.151.6.题型三二项分布问题例3(2013山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得
6、比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望破题切入点理解相互独立事件、二项分布的概念，掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算解(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，知各局比赛结果相互独立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)，P(A3)C()2(1)2.所以甲队以30胜利、3
7、1胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意，知各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C(1)2()2(1).由题意，知随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性，得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列为X0123P所以E(X)0123.总结提高(1)离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和
8、方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系，在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立(3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量，可直接代入公式1从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A. B. C. D.答案D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类(1)当个位为奇数时，有5420(个)符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525(
9、个)符合条件的两位数因此共有202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P.2(2013广东)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)等于()A. B2 C. D3答案A解析E(X)123.3甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A. B. C. D.答案A解析设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为ABC，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目标被击
10、中的概率为1P()1.4一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由已知得3a2b0c1，即3a2b1，ab3a2b22，当且仅当3a2b时取等号，即ab的最大值为.5盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是()A. B. C. D.答案B解析从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有555125种，有两次取红球的所有取法有3AA
11、36种所以概率为.6设10x1x2x3D(2)BD(1)D(2)CD(1)D(2)DD(1)与D(2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关答案A7将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率PC6C6C6.8某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_答案0.128解析由题设，分两类情况：第1个正确，第
12、2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.9小王参加了2014年春季招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的记为小王得到面试的公司个数若0时的概率P(0)，则随机变量的数学期望E()_.答案解析由题意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列为012Pp由p1，得p.所以E()012p.10某工厂生产甲、乙两种芯片
13、，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在(1)的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率解(1)芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合
14、格品的概率约为.(2)随机变量X的所有可能取值为90,45,30，15.P(X90)，P(X45)，P(X30)，P(X15)，所以，随机变量X的分布列为X90453015P随机变量X的数学期望E(X)9045301566.设生产的5件芯片乙中合格品有n件，则次品有(5n)件依题意，得50n10(5n)140，解得n.所以n4或n5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则P(A)C()4()5.11在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p1，p2，且p1p21，现各自投篮一次，三人投篮相互独立(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时
15、甲、乙投篮命中的概率；(2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X的分布列和数学期望解(1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A，B，C，则P(A)p1，P(B)p2，P(C).各自投篮一次都没有投进为事件D，则D ，故P(D)P( )P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C)(1p1)(1p2)()2，当且仅当p1p2时等号成立即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是，此时甲、乙投篮命中的概率都是.(2)X0,1,2,3.根据(1)知P(X0)；P(X1)P(A B C)；P(X2)P(ABACBC)；P(X3)P(ABC).所以X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123
16、.12(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)解设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P从而有E(X)010502004(元)