1、 北京市东城区2007年三模试卷（数学）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题 共40分）注意事项：1答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1设集合等于（ ）A1,2,3B1,2,4C1,3,4D1,2,3,42若的展式开中第4项为常数项,则正整数n的值为（
2、）A6B7C8D93若l,m表示直线,表示平面,则下列命题不正确的是（ ）A若B若C若D若4从4名男生和6名女生,选出3名升旗手,要求至少包含1名男生,则不同的选法共有（ ）A160B100C200D1405如果实数x、y满足条件的最大值为（ ）A12B10CD36设直线与两坐标轴分别交于A,B两点,若圆C的圆心在原点,且与线段AB有两个交点,则圆C的半径的取值范围是（ ）ABCD（3,4）7将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则的值是（ ）ABC1D8已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点F,且这两条曲线交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为（ ）ABCD1D 2D 3B 4B 5A 6B 7C
3、 8A2,4,6第卷（共110分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上.2答卷前将密封线内项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9某校为了了解高三年级学生的视力状况,按男生和女生分层抽样,从全部600名学生中抽取60名进行检查,在抽取的学生中有男生36名,则高三年级中共有 女生.2,4,610函数= .11已知一个半径为的球中有一个各条棱长相等的内接正三棱柱,则这下正三棱柱的棱长是 .12等比数列,则q = , Sn = .13设向量a与b的夹角为,a = (3,3),2ba = (-1,1),则= .14动点P在抛物线上运动,则动点
4、P和两定点A（1,0）、B（0,1）所成的PAB的重心的轨迹方程是 .9240 10 116 1213 14三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15（本小题共13分） 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, （I）求角C的大小； （II）求ABC的面积.解：（I）由 得 整理,得 4分 解得 , 6分 （II）由余弦定理得, , 8分 又, ab = 6 10分 13分16（本小题满分13分） 口袋里有4个黑球和2个红球共6个球,某人每天从口袋里取球两次,每次任意取一个球,用完后将球放回口袋内才能再次取球. （I）求这个人在一天中所取的球为同
5、色的概率； （II）求这个人在连续四天中恰有两天每天所取的球为不同色的概率.解：（I）设一天中所取的球同为黑色的概率为P1,同为红色的概率为P2,则 6分 （II）在连续四天中恰有两天所取的球为不同色的概率为 13分17（本小题满分13分） 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,C1C=CB=CA=2,ACCB,D是棱的中点. （I）求点B到平面A1C1CA的距离； （II）求二面角BA1DA的大小.解：（I）ABCA1B1C1是直三棱柱,CC1底面ABC.CC1BC.2分ACBC,又ACCC1 = C,BC平面A1C1CA.4分BC = 2,点B到平面A1C1CA的距离为2.6分 （II）分别
6、延长AC、A1D交于点G,过C作CMA1G于M,连结BM.BC平面A1C1CA, CM为BM在平面A1C1CA内的射影.根据三垂线定理,得BMA1G.CMB为二面角BA1DA的平面角. 9分在平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点,CG = 2, DC = 1.在RtDCG中,CM = 即二面角BA1DA的大小为13分解法二： （I）同解法一 6分 （II）在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,分别以向量、所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 C（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,2,0）, C1（0,0,2）,A1（0,2,2）,D（0,0,
7、1）8分 ,设平面A1BD的一个法向量为,则 令,即 10分 又平面A1C1CA的一个法向量为 , 即二面角BA1DA的大小为13分18（本小题满分13分） （理科学生做） 已知函数上是增函数. （I）求实数a的取值范围； （II）在（I）的结论下,设,求函数的最小值.解：（I） 2分 所以 5分 （II）设 当 7分 9分 当 11分 所以,当的最小值为 13分 （文科学生做）已知函数的图象在点处的切线方程为 （I）求实数a,b,c的值； （II）求函数的单调区间.解：（I）, 2分,又 即, 4分 6分联立方程,解得 7分 （II） 9分令x（,3）3（3,1）1（1,+）f(x)+00+
8、f(x)极大极小 12分 故h(x)的单调增区间为（,3）,（1,+）,单调减区间为（3,1）13分19（本小题满分14分） 双曲线的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中 （I）求双曲线的方程； （II）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,点M、N在双曲线上,且,求时,直线MN的方程.解：（I） 双曲线方程为2分 直线AB的方程为 由于坐标原点到直线AB的距离为, 4分 解得 故所求双曲线方程为 6分 （II）, B、M、N三点共线 又B（0,3）,可设直线MN的方程为 由消去y得 （*）8分 设, B1（0,3）, , 同理10分 由得 11分 13分 经检验,当时,方程（*）有解 故所求直线AB的方程为14分20（本小题满分14分） 设数列an是首项为4,公差为1的等差数列,Sn为数列bn的前n项和,且 （I）求an及bn的通项公式an和bn. （II）若成立？若存在,求出k的值；若不存在,说明理由； （III）若对任意的正整数n,不等式恒成立,求正数a的取值范围.20（本小题当满分14分） 解：（I） 1分 （II）假设符合条件的k(kN*)存在, 由于 当k为正奇数时,k + 27为正偶数 由 （舍） 6分 当k为正偶数时,k + 27为正奇数, 由 即（舍） 因此,符合条件的正整数k不存在 8分 （III）将不等式变形并把代入得 设 11分 又, 14分