1、第12练必考题型导数与单调性题型分析高考展望利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视体验高考1(2015福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()Af BfCf Df答案C解析由已知条件，构造函数g(x)f(x)kx，则g(x)f(x)k0，故函数g(x)在R上单调递增，且0，故g()g(0)，所以f()1，f()，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判
2、断；构造函数h(x)f(x)x，则h(x)f(x)10，所以函数h(x)在R上单调递增，且0，所以h()h(0)，即f()1，f()1，选项A，B无法判断，故选C.2(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析记函数g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0，故当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)
3、在(，0)单调递增，且g(1)g(1)0.当0x1时，g(x)0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，则f(x)0.综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.3(2016浙江)设函数f(x)x3，x0,1证明：(1)f(x)1xx2；(2)f(x).证明(1)因为1xx2x3，由于x0,1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)由0x1得x3x，故f(x)x3xx，所以f(x).由(1)得f(x)1xx22，又因为f，所以f(x).综上，f(x).4(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x
4、)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()设a0，则当x(，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增()设a，则ln(2a)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减若a1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点()设a0，则f
5、(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点()设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，得0x1；由f(x)1.故函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)(2)f(x)3a4x.若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，则f(x)0或f(x)0在区间1,2上恒成立于是3a4x0或3a4x0在区间1,2上恒成立，即3a4x或3a4x在区间1,2上恒成立
6、令h(x)4x，则h(x)在区间1,2上是增函数因此h(x)maxh(2)，h(x)minh(1)3.即3a或3a3，故a或a1.所以a的取值范围为(，1点评已知函数yf(x)在区间(a，b)的单调性，求参数的取值范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f(x)0恒成立；若函数单调递减，则f(x)0”恒成立变式训练2设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g
7、(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a(x)max2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例3已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导
8、函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象可能是()答案B解析由函数yxf(x)的图象知，x0，f(x)为增函数；1x0时，f(x)0，f(x)为减函数；0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数故选项B的图象符合点评利用导数判断图象，应先分清原函数图象与导函数图象；看导函数图象，要看哪一部分大于0，哪一部分小于0，看原函数图象要看单调性变式训练3设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析由函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)0；当x(2
9、，b)(b2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.高考题型精练1函数y4x2的单调递增区间为()A(0，) B(，)C(，1) D(，)答案B解析由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2在(，)上单调递增故选B.2若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为()A(，2) B(，2C(，) D(，答案D解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x
10、)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2，故选D.3设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()答案C解析由yf(x)的图象易知当x0或x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增；当0x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(0,2)上单调递减4定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即所以5已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()答案A解析由导函数图象可知，f(x)在
11、(，2)，(0，)上单调递减，在(2,0)上单调递增，故选A.6(2016课标全国乙)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B.C. D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)上单调递增的条件，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立当cos x0时，恒有0
12、，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0，解得x3.当x2时，g(x)0，g(x)x2x6在(，2)上为减函数函数ylog2的单调递减区间为(，2)9若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案(，)解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a，令2a0，解得a.所以a的取值范围是(，)10已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立(其中f(x)是f(x)的导函数)，若a30.3f(30.
13、3)，blog3f(log3)，clog3 f，则a，b，c从大到小的次序为_答案cab解析因为当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立，所以y(xf(x)0在(，0)上成立，所以函数yxf(x)在(，0)上单调递减因为函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数yf(x)关于原点对称，所以函数yf(x)是奇函数，所以函数yxf(x)是偶函数，且在(0，)上单调递增又30.31log30log3 2，2log3 30.31log30，所以f30.3f(30.3)log3f(log3)，又flog3f，所以log3 f30.3f(30.3)log3f(log3)，即cab.11已知函数f
14、(x)ln xax1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，讨论f(x)的单调性解(1)当a1时，f(x)ln xx1，此时f(x)1，f(2)11.又因为f(2)ln 221ln 22，所以切线方程为y(ln 22)x2，整理得xyln 20.(2)f(x)a(x0)当a0时，f(x).此时，在(0,1)上，f(x)0，f(x)单调递增当a0时，f(x).当1，即a时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递减当a1，此时在(0,1)或上，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调
15、递增；当a0x1，f(x)0x1，f(x)在(，)上单调递减，在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，当x1时，函数f(x)取得极大值，a1符合题意；当a4时，f(x)12x24x16，f(x)0x0x1，f(x)在(，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，函数f(x)取得极小值，a4不符合题意a1，f(x)在(，)上单调递减，在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)知f(x)x32x2xb2，f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减则f(x)在区间0,2上的极大值为f(1)b2，极小值为fb2，又f(0)b2f(1)，f(2)2b2f()，由方程f(x)b在区间0,2上恰有三个不同的实根，得即b的取值范围是b0或b.