1、数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在空间直角坐标系中，点与点距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据空间两点间的距离公式，可知，故选D考点：空间直角坐标系的应用2. 空间直角坐标中A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】由已知得=（2，2，2），=（1，1，1），=2，从而得到直线AB与CD平行【详解】空间直角坐标系中，A（1，2，
2、3），B（1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），=（2，2，2），=（1，1，1），=2，直线AB与CD平行故选A【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题3. ，不共线，对空间内任意一点，若，则，四点（ ）A. 不共面B. 共面C. 不一定共面D. 无法判断是否共面【答案】B【解析】【分析】直接利用空间共面向量基本定理求解.【详解】因为，所以，即，故，四点共面，故选：B【点睛】本题主要考查空间共面向量基本定理，属于基础题.4. 已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出轴的方向向量，代
3、入向量的夹角公式，即可得解.【详解】易知轴的方向向量为， 解得：，故选：B.【点睛】本题考查了向量法求线面角，在解题时注意线面角和向量所成角的关系，注意公式的正确应用，属于基础题.5. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别写出、向量，利用cos即可求出答案.【详解】建立坐标系如图所示则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)cos.故选：B.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值.属于基础题.求异面直
4、线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用即可解出异面直线所成角.6. 已知A（4，6，1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（ ）A. （0，1，6）B. （1，2，1）C. （15，4，36）D. （15，4，36）【答案】B【解析】试题分析：设出平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的坐标，根据法向量与平面内任何一个向量都垂直，数量积均为0，构造方程组，然后逐一分析四个答案中的向量，即可找到满足条件的答案解：设平面AOB（O是坐标原点）的一个法
5、向量是=（x，y，z）则，即，令x=1，解得，故=（1，2，1），故选B点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中根据法向量与平面内任何一个向量都垂直，数量积均为0，构造方程组，是解答本题的关键7. 如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为BC延长线上一点,则=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示,取的中点,连接,，再求出，即得解.【详解】如图所示,取中点,连接,则且,四边形是平行四边形,且，又，故答案为B【点睛】本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力.8. 如图所示，ABCD
6、A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为，依题意得,可取，同理可得平面C1DF的一个法向量为，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.故选B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
7、得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（ ）A. 与是一对相反向量B. 与是一对相反向量C. 与是一对相反向量D. 与是一对相反向量【答案】ACD【解析】【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解.【详解】为正方体的中心，故，同理可得，故，A、C正确；，与是两个相等的向量，B不正确；，D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了向量加法、减法运算、相反向量的概念，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ）A. 是，共线的充要条件B. 若，则存在唯一的实数，使C. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则，四点共面D
8、. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底【答案】ABC【解析】【分析】根据向量共线的性质，即可判断A选项；根据零向量与任意向量共线以及向量共线定理，即可判断B选项；根据向量的共面定理的定义，即可判断C选项；根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理，即可判断D选项.【详解】解：对于A，当，则，共线成立，但，同向共线时，所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确；对于B，当时，不存在唯一的实数，使，故B不正确；对于C，由于，而，根据共面向量定理知，四点不共面，故C不正确；对于D，若为空间的一个基底，则不共面，由基底的定义可知，不共面，则构成空间的另一个基底，故D正确.故选：A
9、BC.【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假性判断，考查空间向量的共线定理和共面定理的应用，考查推理论证能力.11. 在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，然后利用空间向量数量积运算求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.则，.与不垂直的有、，故选：ACD.【点睛】本题主要考查利用空间向量法研究直线的位置关系，还考查运算求解的能力，属于中档题.12. 如图，已知是棱长为2的正方体的棱的中点，是棱的中点，设点到面的距离为，直线与面所成的角为，面与面的夹角为，则（ ）A.
10、 面B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.【详解】以为坐标原点，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，则由，得令，则，故.，不存在使，即与不共线，与面不垂直故A不正确；又，故B正确；又.C正确；又为平面的一个法向量，故D正确，故选：BCD.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13. 若，则_.【答案】【解析】【分析】先算出，再对其求模，从而求出答案.【详解】，
11、.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量模的知识点，属于基础题型.14. 如图，在长方体中，分别是面、面的中心，则、两点间的距离为_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，分别以，所在方向为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别列出E与F的空间坐标，然后，利用两点间距离公式即可求解【详解】以为坐标原点，分别以，所在方向为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由条件知，.，、两点间的距离为.故答案为：【点睛】本题考查了空间中两点距离的计算，属于基础题15. 已知向量，是三个不共面的非零向量，且，若向量，共面，则_.【答案】1【解析】【分析】由于向量，共面，所以存在实数，使得，然后将向量，代入化简可得，
12、从而可求出的值【详解】因为向量，共面，所以存在实数，使得，则，则，解得.故答案为：1【点睛】此题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题16. 已知向量，点，.则_；在直线上，存在一点，使得，则点的坐标为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据向量的坐标加法运算求出，再利用向量的模公式即可求出；由向量共线定理和向量的线性运算得出，从而得出的坐标，再根据以及向量的数量积，即可求出的值，即可得出点的坐标.【详解】解：根据题意，得，故，由于点在直线上，则，即，由，则，所以，解得，此时点的坐标为.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量坐标的加法运算和向量的模，考查向量的共线定理和向量的线性
13、运算，还涉及向量垂直和向量的数量积运算，考查运算能力.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，求：（1）；（2）与所成角的余弦值.【答案】(1) c(3，2,2);(2).【解析】试题分析：（1）利用向量共线、垂直的条件，求出的值，即可求出；（2）分分别求出的坐标，利用公式求出试题解析：（1）因为ab，所以，解得x2,y4，这时a(2,4,1)，b(2,4,1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)（2）由（1）得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos.18. 如图，一块矿石
14、晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，且.（1）设，试用、表示；（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则可得出关于、的表达式，进而可得出关于、的表达式；（2）利用空间向量数量积的运算求得的值，可得出的长，进而可得出的长.【详解】（1）由，由向量加法的平行四边形法则可得，因此，；（2）为四棱柱的中心，即为线段的中点.由已知条件得，.由（1）得，则.所以的长为，所以的长为.【点睛】本题考查利用空间向量基底表示向量，同时也考查了利用空间向量数量积计算线段长，考查计算能力，属于中等题.19. 如图，在正四棱柱中，已知AB2
15、， ，E、F分别为、上的点，且.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出要用点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0)、
16、(0,2,4)、(2，2,1)、(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，
17、ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.()证明：BEDC；()求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算得到（2）计算平面的法向量后计算其与的夹角的余弦值的绝对值即得线面角的正弦值【详解】证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得，故，所以.（2） 设为平面的一个法向量，则 即，不妨令，可得于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】空间中两条直线的垂直可归结为它们的方向向量垂直，后者通过数量积为零得到.直线与平面所成角的正弦值可归结为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝
18、对值（因为线线角的取值范围为）.21. 如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)求证：AMPM；(2)求平面PAM与平面AMD夹角的大小【答案】（1）见解析； （2）45.【解析】【分析】(1)以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴，y轴，建立如图所示空间坐标系，利用向量证明2200，即证AMPM.(2)利用向量法求平面PAM与平面AMD夹角的大小【详解】(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴，y轴，建立如图所示空间坐标系依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0).
19、(，1，)，(，2,0)2200，即.AMPM.(2)设(x，y，z)，且平面PAM，则 取y1，得(，1，)取(0,0,1)，显然平面ABCD，cos， ，结合图形可知，平面PAM与平面AMD的夹角为45.【点睛】(1)本题主要考查二面角的计算和线线垂直的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）22. 如图，四棱锥的底面是正方形，每
20、条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图，然后利用空间向量求解（1）只要求出即可，（2）求出两平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解，（3）是平面的一个法向量，若设，则，再由可求出的值【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图.设底面边长为，则高.于是，故，从而.（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求角为，则，平面与平面的夹角为30.（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，.设，则而，即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】此题考查线线垂直的判定，考查线面平行的判定，考查二面角的求法，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于中档题