1、20202021学年度山西省高一年级下学期期末考试数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3本卷命题范围：必修第一册，必修第二册。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，则（ ）ABCD2将圆锥的高缩短到原来的，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（
2、）A缩小到原来的一半B缩小到原来的C不变D扩大到原来的2倍3若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）ABCD4甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，则密码能被译出的概率是（ ）ABCD5数据，的平均数为4，标准差为2，则数据，的方差和平均数分别为（ ）A36，14B14，36C12，19D4，126设为实数，已知向量，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD7若，则事件与的关系是（ ）A互斥B相互独立C互为对立D无法判断8右图是函数(，)的部分图象，则（
3、）A函数的最小正周期为B直线是函数图象的一条对称轴C点是函数图象的一个对称中心D函数为奇函数9若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则下列取值范围中的每个工都能使不等式成立的是（ ）ABCD10如图，在直三棱柱中，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）ABCD111如图所示，在正方体中，点，分别为棱，上的中点，下列判断正确的是（ ）A直线平面B直线面C平面平面D平面平面12矩形中，是矩形内(不含边框)的动点，则的最小值为（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，则_14已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则_15一组数据共有7个整数，
4、2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是_16如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点，且，则动点在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17 (本小题满分10分)在中，角，所对的边分别为，已知(1)求角；(2)若，的面积为，求18(本小题满分12分)某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：治疗效果病情好转疗效不明显病情恶化人数800200200(1)若另一个人服用此
5、药，请估计该病人病情恶化的概率；(2)现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率19(本小题满分12分)已知向量，(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；(2)若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围20 (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，是的中点(1)求二面角的大小；(2)求证：21(本小题满分12分)雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”。而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种。在中国，雪豹的数量甚至少于大熊
6、猫。某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2(1)假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进人这个区域后未被拍摄到的概率；(2)要使雪豹一旦进人这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机()22(本小题满分12分)如图，已知四棱锥，为等边三角形，直线，两两垂直，且，为线段上的一点(1)若平面平面，求；(2)若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离20202021学年度山西省高一年级下学期期末考试数学参考答案、提示及评分细则1B ，2D 设圆锥原来的高和底面半径分别为和，圆锥原来体积为，变化后为，
7、3A ，在其定义域内都单调，可构造同族函数，例如，和，.4D 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，此密码不能译出的概率为，故此密码能被译出的概率5A 数据，的平均数为4，标准差为2，所以数据，的方差为4，平均数为4根据方差和平均数的性质可得，的方差为，平均数为6A 由题意可知，由，可得，解得，所以，又，且，所以7B 因为，所以，又，所以事件与事件不对立，又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥8C 由题意可知，根据图像得到，则选项A错误;，又，解得，则，即，所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；，所以点是函数图象的一个对称中心，选项C正确；不是奇函数，所以选项D
8、错误9B 由题意可知，奇函数在上单调递减，且，则在上单调递增，所以可画出大致图像，而可看作的图像向左平移弯个单位，可在同一坐标系中作出图像，当时，满足恒成立10D ，平面，即，作交，于点(图略)，此时平面，在矩形中，所以四边形是正方形，所以，所以，又为的中点，所以为的中点，即，所以11D 过点，的截面如图所示(，均为中点)，所以直线与其相交于点，故A项错误;直线与直线在平面必定相交，故B项错误;直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误；直线直线，直线直线，所以平面平面12C 记，则，所以当，时，取最小值13 143如图，由题意得存在实数，使得又，所以，所以所以155 平均数，众数=2，当时
9、，中位数为4，则有舍掉;当时，中位数为，则有该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，而且，所以这组数据的第三四分位数为516 如图，轨迹为曲线，则，又，则，所以点的轨迹长度为17解：(1)由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以(2)由(1)得，因为，所以，因为，所以，由余弦定理得，所以18解：(1)由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为(2)采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4人，从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本将6人中病情恶化的1人用符号A代替，其余5人分别用1
10、，2，3，4，5代替，则从6人中任意抽取3人的基本事件表示如下：(A，1，2)，(A，1，3)，(A，1，4)，(A，1，5)，(A，2，3)，(A，2，4)，(A，2，5)，(A，3，4)，(A，3，5)，(A，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，共20个基本事件其中没有抽到病情恶化的志愿者的基本事件为：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，(1，2，3)，(1，24)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，
11、共10个基本事件，因此，抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为19解：(1)因为所以函数的最小正周期;因为函数的单调增区间为，所以，解得，所以函数的单调增区间为，;(2)不等式有解，即;因为，所以，又，故当，即时， 取得最小值，且最小值为，所以20解:(1)因为底面，平面，所以，因为，所以平面，所以又，故为二面角的平面角，又，故二面角的大小为(2)证明:由于平面，所以，因为是的中点，所以又，所以平面，又平面，所以21解:(1)雪豹被拍摄到的概率，即至少有1个红外线触发相机拍摄到雪豹的概率设雪豹被第个红外线触发相机拍摄到的事件为，那么5个红外线触发相机都未拍摄到雪豹的事件为事件相互独立，雪豹未被拍摄到的概率为雪豹未被拍摄到的概率为(2)设至少需要布置个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹，由（1）可知，雪豹被拍摄到的概率为，令，两边取常用对数，得，至少需要布置11个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹22解：(1)连接交于点，易知为线段的垂直平分线，且为在平面上的投影，所以，连接，则，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，A0=v6，又因为，即(2)方法一:过点作平面的垂线，垂足为，故，解得，故点到平面距离为方法二：，即点到平面距离为
