1、2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合A=x|（x1）（x+2）0，B=x|x0，则AB=（）A（，0B（，1C1，2D1，+）2若实数x，y满足条件，则z=x3y的最小值为（）A5B3C1D43运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）Ai4？Bi4？Ci5？Di5？4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A24B40C36D485下列结论错误的是（）A若“pq”为假命题，则p，q均为假命题B“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件C命题：“xR，x2x0”的否定是“xR，x
2、2x0”D命题：“若x23x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”6设曲线y=x2及直线y=1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）ABCD7双曲线=1（a0，b0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）ABC2D8已知函数，则下列关于函数y=ff（x）+1的零点个数的判断正确的是（）A当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点B当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点C无论k为何值，均有2个零点D无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小
3、题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9已知i为虚数单位，复数=10已知O1和O2交于点C和D，O1上的点P处的切线交O2于A、B点，交直线CD于点E，M是O2上的一点，若PE=2，EA=1，AMB=30，那么O2的半径为11在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为12已知曲线C1的极坐标方程为=2sin，曲线C2的极坐标方程为=（R），曲线C1，C2相交于点M，N，则弦MN的长为13已知ABC是边长为2的正三角形，EF为ABC的外接圆O的一条直径，M为ABC的边上的动点，则的最大值为14设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，
4、若对任意的xa，b，都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”若f（x）=lnx与g（x）=在，e上是“密切函数”，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=12sin（x+）sin（x+）cos（x+），xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x+）在区间，0上的最大值和最小值16集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常
5、工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元（）求集成电路E需要维修的概率；（）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望17直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由18已知圆E：x2+（y）2=经过椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交
6、椭圆C于M，N两点，且=（0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程19已知数列an是公比为正整数的等比数列，若a2=2且a1，a3+，a4成等差数列，（）求数列an的通项an；（）定义：为n个正数P1，P2，P3，Pn（ nN*）的“均倒数”，（）若数列bn前n项的“均倒数”为（nN*），求数列bn的通项bn；（）试比较+与2的大小，并说明理由20已知函数（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（）在（）的条件下，设函数，若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）
7、成立，求实数a的取值范围2016年天津市河北区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合A=x|（x1）（x+2）0，B=x|x0，则AB=（）A（，0B（，1C1，2D1，+）【考点】并集及其运算【分析】通过解二次不等式求出集合A，求出B的补集，然后求解它们的并集【解答】解：因为集合A=x|（x1）（x+2）0=x|1x2，所以B=x|x0所以AB=x|x1，故选B2若实数x，y满足条件，则z=x3y的最小值为（）A5B3C1D4【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2
8、）时，截距z取最大值，z取最小值，代值计算可得【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=xz，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=132=5故选：A3运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）Ai4？Bi4？Ci5？Di5？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量P的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：模拟程序的运行，可得：i
9、=1，T=0，P=15满足判断框内的条件，执行循环体，i=2，T=1，P=5满足判断框内的条件，执行循环体，i=3，T=2，P=1满足判断框内的条件，执行循环体，i=4，T=3，P=满足判断框内的条件，执行循环体，i=5，T=4，P=此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为，即i=5时退出循环，故继续循环的条件应为：i5？故选：D4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A24B40C36D48【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为三棱柱切去两个小棱锥得到的，用棱柱的体积减去两个小棱锥的体积即可【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱柱切去两个大小相等的小棱
10、锥得到的，三棱柱的底面为侧视图中三角形，底面积S=6，三棱柱的高h=8，V三棱柱=Sh=48，切去的小棱锥的底面与棱柱的底面相同，小棱锥的高h=2，V棱锥=Sh=4，几何体的体积V=V三棱柱2V棱锥=4824=40故选：B5下列结论错误的是（）A若“pq”为假命题，则p，q均为假命题B“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件C命题：“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”D命题：“若x23x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据pq的真假判断，一真即真，全假为假，判断A；c=0时，由“ab”不能得出“ac2bc2”，即可判断B
11、；根据命题“xR，x2x10”是特称命题，其否定为全称命题，即xR，x2x10，即可判断C根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，判断D【解答】解：根据pq的真假判断，一真即真，全假为假，利用“pq”为假命题，则p，q均为假命题，正确；c=0时，由“ab”不能得出“ac2bc2”，不正确；命题：“xR，x2x0”是特称命题，否定命题是“xR，x2x0”，正确；根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，可得命题：“若x23x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”，正确，故选：B6设曲线y=x2及直线y=1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为E，在
12、区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，用定积分表示出曲线y=x2与直线y=1围成的封闭图形的面积，再求出不等式组所确定的区域的面积为2，即可求得结论【解答】解：联立曲线y=x2及直线y=1，解得x=1，曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（）=不等式组所确定的区域的面积为2，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为=，故选：D7双曲线=1（a0，b0）的右焦点是抛物线y2=8x焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单
13、性质【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c=2，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，运用双曲线的定义求得2a=2，然后求得离心率e【解答】解：抛物线y2=8x焦点F（2，0），准线方程为x=2，设P（m，n），由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5，解得m=3，则n2=24，即有P（3，2），可得左焦点F为（2，0），由双曲线的定义可得2a=|PF|PF|=75=2，即a=1，即有e=2故选C8已知函数，则下列关于函数y=ff（x）+1的零点个数的判断正确的是（）A当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点B当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点C无论k为何值，均有2个零点D无论k为何
14、值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x）+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x）+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x）+1的零点个数；【解答】解：分四种情况讨论（1）x1时，lnx0，y=f（f（x）+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=1；（2）0x1时，lnx0，y=f（f（x）+1=klnx+1，则k0时，有一个零点，k0时，klnx+10没有零点；（3）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=k2x+k+1，则k0时，kx1，k2xk，可得k2x+k0，y有一个零点，若k0时，则k2x+k0，y
15、没有零点，（4）若x0，kx+10时，y=f（f（x）+1=ln（kx+1）+1，则k0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k0时kx0，y没有零点，综上可知，当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点；故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9已知i为虚数单位，复数=3+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =故答案为：3+i10已知O1和O2交于点C和D，O1上的点P处的切线交O2于A、B点，交直线CD于点E，M是O2上的一点，若PE=2，EA=1，AMB=30，那么O2的半径为3【考点】圆
16、与圆的位置关系及其判定【分析】根据切割线定理和割线定理，证出EP2=EAEB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3再在ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出O2的半径【解答】解：PE切O1于点P，EP2=ECEDED、EB是O2的两条割线，ECED=EAEBEP2=EAEB，即22=1EB，得EB=4，因此，ABM中AB=EBEA=3，AMB=30，设O2的半径为R，由正弦定理，得，即2R=，解之得R=3故答案为：311在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】题设条件中只给出，a=2，欲求b的值，可由这些条件建立关于b
17、的方程，根据所得方程进行研究，判断出解出其值的方法【解答】解：bcsinA=，即bc=，bc=3 又，a=2，锐角ABC，可得cosA=由余弦定理得4=b2+c22bccosA=b2+c223，解得b2+c2=6 由解得b=c，代入得b=c=故答案为12已知曲线C1的极坐标方程为=2sin，曲线C2的极坐标方程为=（R），曲线C1，C2相交于点M，N，则弦MN的长为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】将两曲线极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由半径r的值，利用垂径定理及勾股定理求出MN的长即可【解答】解：=2sin，2=2sin，又，且2=x2+y2，x2
18、+y2=2y，即C1：x2+（y1）2=1；曲线C2在直角坐标系中是过原点且倾斜角为的直线，即C2：y=x，圆心（0，1）到直线y=x的距离d=，圆的半径r=1，由勾股定理可得，MN=2=，则弦MN的长为故答案为：13已知ABC是边长为2的正三角形，EF为ABC的外接圆O的一条直径，M为ABC的边上的动点，则的最大值为3【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先，建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后，求解其最大值【解答】解：如下图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，该正三角形ABC的边长为2，A（，0），B（，0），C（0，3），E（
19、0，1），F（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则x0，=（x0，1），=（x0，3），=x02+3，x0，的最大值为3，当点M在边BC上时，直线BC的斜率为，直线BC的方程为：，设点M（x0，3x0），则0x0，=（x0， x04），=（x0， x0），=2x024，0x0，的最大值为0，当点M在边AC上时，直线AC的斜率为，直线AC的方程为：，设点M（x0，3+x0），则x00，=（x0，x04），=（x0， x0），=4x024，x00，的最大值为3，综上，最大值为3，故答案为：314设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f
20、（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”若f（x）=lnx与g（x）=在，e上是“密切函数”，则实数m的取值范围是e2.2【考点】函数与方程的综合运用【分析】由“e度和谐函数”，得到对任意的x，e，都有|f（x）g（x）|1，化简整理得melnx+m+e，令h（x）=lnx+（xe），求出h（x）的最值，只要m1不大于最小值，且m+1不小于最大值即可【解答】解：函数f（x）=lnx与g（x）=在，e，对任意的x，e，都有|f（x）g（x）|1，即有|lnx|1，即m1lnx+m+1，令h（x）=lnx+（xe），h（x）=，x1时，h（x）
21、0，x1时，h（x）0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在，e上的最小值是1，最大值是e1m11且m+1e1，e2m2故答案为：e2，2三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=12sin（x+）sin（x+）cos（x+），xR（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x+）在区间，0上的最大值和最小值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数周期公式即可求解（）由（）知，f（x+）=cos（2x+
22、），由x，0，利用余弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本小题满分13分）解：（）f（x）=12sin（x+）sin（x+）cos（x+）=12sin2（x+）+2sin（x+）cos（x+）=cos（2x+）+sin（2x+）=cos2x，f（x）的最小正周期T= （）由（）知，f（x+）=cos（2x+），令g（x）=cos（2x+），g（x）在，上为增函数，在，0上为减函数，且g（）=cos（）=1，g（）=，g（0）=cos=1，g（x）在区间，0上的最大值为，最小值为1，即f（x+）在区间，0上的最大值为，最小值为1 16集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元
23、件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元（）求集成电路E需要维修的概率；（）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2 的值，再把P1 和P2相加，即得所求（）设为维修集成电路的个数，则服从B（2，），
24、求得P（X=100）=P（=k） 的值，可得X的分布列，从而求得X的期望【解答】解：（）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=依题意，集成电路E需要维修有两种情形：3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=+=所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=（）设为维修集成电路的个数，则服从B（2，），而X=100，P（X=100）=P（=k）=，k=0，1，2X的分布列为：X0100200PEX=0+100+200=17直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA
25、1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（1）先证明ABAC，然后以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（，0，1），所以=0，即DFAE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可【解答】（1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEA
26、B，又AA1AB，AA1AE=A，AB面A1ACC1，又AC面A1ACC1，ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且0，1，即（x，y，z1）=（1，0，0），则 D（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），=0，所以DFAE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，=（，），=（，1），即，令z=2（1），则=（3，1+2，2（1）由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），平面
27、DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cos，|=，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求18已知圆E：x2+（y）2=经过椭圆C： +=1（ab0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=（0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可
28、；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，c2+（0）2=，解得c=，F1，E，A三点共线，F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，AF2F1F2，=98=1，2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，a=2由a2=b2+c2得，b=，椭圆C的方程是；（2）由（1
29、）得点A的坐标（，1），（0），直线l的斜率为kOA=，则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得，x1+x2=，x1x2=m22，且=2m24m2+80，解得2m2，|MN|=|x2x1|=，点A到直线l的距离d=，AMN的面积S=，当且仅当4m2=m2，即m=，直线l的方程为19已知数列an是公比为正整数的等比数列，若a2=2且a1，a3+，a4成等差数列，（）求数列an的通项an；（）定义：为n个正数P1，P2，P3，Pn（ nN*）的“均倒数”，（）若数列bn前n项的“均倒数”为（nN*），求数列bn的通项bn；（）试比较+与2的大小，并说明理由【考点】数
30、列与不等式的综合；等比数列的性质【分析】（）设数列an是公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（） （）由新定义，可得：，整理，再将n换成n1，相减即可得到所求；（）判断：2，由放缩法，可得，再由累加法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到【解答】解：（）设数列an是公比为q，由題意a1，a3+，a4成等差数列，即为2（a3+）=a1+a4，即，即（2q21）（q2）=0，q为正整数，q=2，故an=2n1（） （）由题意有：，由得：（n2），又b1=1，（nN*）（）判断：2，证明如下：由题意：n2而，=20已知函数（）若a=1，求曲
31、线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（）在（）的条件下，设函数，若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f（x），从而求出f（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；（）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需f（x）0在（0，+）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；（III）根据g（x）在1，e上的单调
32、性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，只需f（x）maxg（x）min，x1，e，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围【解答】解：（）当a=1时，函数，f（1）=11ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为f（1）=1+11=1从而曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0=x1，即y=x1 （）要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需f（x）0在（0，+）内恒成立即：ax2x+a0得：恒成立由于，f（x）在（0，+）内为增函数，实数a的取值范围是（III）在1，e上是减函数x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）1，ef（x）=令h（x）=ax2x+a当时，由（II）知f（x）在1，e上是增函数，f（1）=01又在1，e上是减函数，故只需f（x）maxg（x）min，x1，e而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即）=1解得a实数a的取值范围是，+）2016年8月12日
