1、2005年大连市高三数学第一次模拟考试 参考公式: 如果事件A、B互斥,那么 如果事件A、B相互独立,那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率: 球的表面积公式:,其中R表示球的半径 球的体积公式:,其中R表示球的半径一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. ( ) A. B. C. D. 2 2. 函数的反函数图象是( ) 3. 若二项式的展开式的第5项是常数项,则正整数n的值为( ) A. 15B. 12C. 10D. 6 4. 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,
2、则新生婴儿的体重在2700,3000的频率为( ) A. 0.001B. 0.3C. 0.01D. 0.003 5. 函数的图象的一个对称中心是( ) A. B. C. D. 6. 下列各式中正确的个数为( ) (1);(2);(3); (4) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 若是等差数列,首项,则使前n项和成立的最大自然数n是( ) A. 48B. 47C. 46D. 45 8. 设是椭圆C:的焦点,在曲线C上满足的点P的个数为( ) A. 4B. 3C. 2D. 0 9. ABCD是空间四边形,已知ABCD,ADBC,但ABAD,M、N为两对角线AC、BD的中点,则( )
3、A. MN与AC垂直,MN与BD不垂直 B. MN与BD垂直,MN与AC不垂直 C. MN与AC、BD都不垂直 D. MN与AC、BD都垂直 10. 设均是定义在R上的奇函数,当时,且,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 11. 空间有8个点,其中任何四点不共面,则经过每两点的所有直线中异面直线的对数为( ) A. 420B. 210C. 70D. 35 12. 给出下列命题: (1),则; (2)奇函数的图象必过原点; (3)与它的反函数的图象若相交,则交点必在直线上; (4)若等差数列的公差小于0,则其前n项和一定有最大值。 则正确的命题为( ) A. (1)(3)(4)B.
4、(1)(4) C. (2)(3)(4)D. (1)(2)二. 填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。 13. 设,则不等式的解集是_。 14. 在正三棱锥PABC中,E、F分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AEF侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为_。 15. 的值为_。 16. 已知数列为等差数列,则有,。对于,类似的结论为_。三. 解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 有一批数量很大的产品,其次品率为10%。对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查
5、,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过5次。 (I)写出抽查次数的概率分布列; (2)求抽查次数的数学期望。 18. (本小题满分12分) 在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若满足,求A、B、C的值。 19. (本小题满分12分) 如图,直四棱柱ABCD,底面是边长为a的菱形,且ABC60,E为CD的中点,O为AC1的中点。 (I)求证:OE面; (II)求二面角ABOD的大小。 20. (本小题满分12分) 已知,求函数的单调区间。 21. (本小题满分14分) 已知函数的图象过点 (I)求函数的反函数的解析式; (II)记,是否存在正数k,使得对均成立。若存在,求出k的最
6、大值;若不存在,请说明理由。 22. (本小题满分12分) 如图,椭圆两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为。 (I)求椭圆的标准方程; (II)过D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设,求的取值范围。【试题答案】一. 选择题。 1. B2. C3. B4. B5. D6. B 7. C8. C9. D10. C11. B12. B二. 填空题。 13. 14. 15. 16. 三. 解答题。 17. 解:取出次品的概率是,取出正品的概率为,抽查次数的概率分布如下: (I)12345P6分 (II)8分 12分 18. 解:由题知:
7、 由正弦定理,有2分 余切化弦有:4分 通分后, ,又6分 8分 展开化简得: 10分 又11分 综上:12分 19. 解:(I)连结交于F,连结OF 2分 OFCE且OFCE OFCE为平行四边形 OECF4分 面面6分 (II)连结BD,AC交于G,连OG,则OG OG面ABCD 面ODB面DAB 又AGBD,AG面BOD 作AKBO,K是垂足,连GK,则GKOB。(三垂线定理的逆定理) 则AKG是所求二面角的平面角8分 在中,求出10分 即二面角ABOD的大小为12分 20. 解: 2分 (I)当时,若,若 所以当时,在内为减函数,在内为增函数4分 (II)当时, 由,解得或 由,解得 所以当时,在内为增函数,在内为减函数,在内为增函数8分 (III)当时,由,解得 由,解得:或 所以当时,在内为减函数,在内为增函数,在为减函数12分 21. 解:(I)由题知2分 3分 求出:5分 (II)6分 假设存在k,使对成立 则8分 记 则10分 随n增大而增大 的最小值12分 ,即k的最大值为14分 22. 解:设椭圆方程为 (I)由题知2分 椭圆方程为3分 (II)若直线斜率k存在,设,直线方程与椭圆的方程联立 有 若有两个交点,则 5分 设,则 同号且 7分 而9分 由: 10分 综合、: 当k不存在时,11分 综上,满足题意的的取值范围为12分