1、山西省运城市平陆中学2021-2022学年高二上学期数学周考（一）考试时间：120分钟一、单选题(共50分，每题各5分)1如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）ABCD2已知向量，且，则的值为( )A-4B-2C2D43已知向量，若，则的值为（ ）AB2CD64已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，则点为（ ）AB6C4D5.如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（ ）ABCD6.空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）A平行B重合C必定相交D必定垂直7.如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA
2、C为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）ABCD8已知向量是空间向量的一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）ABCD9已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A B C D10.已知点，则，两点的距离的最小值为ABCD二、多选题(共10分，每题各5分)11已知，且，则（ ）Ax Bx Cy Dy412点P是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（ ）A3BC2D1三、填空题(共30分，每题各5分)13已知点，三点共线，则_1
3、4已知是空间的一个基底，若，则_.15.如图，已知平面平面，且，则_.16如图，正四面体的棱长为，的中心为，过点的平面与棱所在的直线分别交于，则_17如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点若GDEF，则线段DF长度的最小值为_.18已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是_19已知空间向量，两两夹角均为，且若存在非零实数，使得，且，则_，_20已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，为正八面体表面上的一个动点，则的最小值是_，最大
4、值是_.四、解答题(共50分)21(本题12分)已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=.(1)设|c|=3，c/，求c.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k.22(本题12分)已知三个顶点的坐标分别为，（1）求的面积；（2）求中边上的高23(本题12分)如图，在三棱锥中，平面，分别是，的中点求证：（1）平面；（2）平面平面24(本题14分)如图，长为1的正方体中，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.（1）求证：；（2）求的长.（3）求与所成角的余弦值；参考答案1B【分析】由向量线性运算的几何含义知，即可得与的线性关系式.【详解】四面体S-A
5、BC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，=+=.故选：B2A【分析】由空间向量共线的充要条件建立关系式求解得出.【详解】向量，且，所以存在，使得，则，解得，所以故选：A3C【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故选：C.4D【分析】利用对称性求出点、，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】点关于平面对称点为，点关于轴对称点为点为，所以，故选：D5A【分析】依题意得，进而可得结果.【详解】依题意得，.所以故.故选：A.6D【分析】结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.【详解】，由因为，所
6、以，即，所以，又因为，所以，故选：D.7B【分析】取的中点，连结，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】取的中点，连结，平面平面，平面平面，平面，又，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，是等腰直角三角形，为直角三角形，0，0，0，0，异面直线与所成角的余弦值为故选：8B【分析】设向量在基底下的坐标为，则由已知可得，从而可求出的值【详解】设向量在基底下的坐标为，则，所以解得故在基底下的坐标为.故选：B9B【分析】首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为，所以，所以向量在向量上的投影为设向量在向量上的投影向量为，则
7、且，所以，所以，解得所以故选：B10C【分析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值.【详解】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.11BD【分析】先由已知条件求出和的坐标，再由，可得3(12x)4(2x)且3(4y)4(2y2)，从而可求出的值【详解】解：因为所以，因为 ，所以3(12x)4(2x)且3(4y)4(2y2)，所以x，y4故选：BD12CD【分析】如图建系，可得点A、的坐标，设，可得的坐标，进而可得的表达式，根据x，y的范围，即可求得答案.【详解】如图建系：因为P在底面A1B1C1D1内，所以设
8、，又，所以，所以，因为，所以的最小值为-2，最大值为0，所以的值可能是-2，-1.故选：CD131【分析】因为，三点共线，所以可设，得出，的坐标，对应相等，即可得出的值.【详解】因为，三点共线，所以可设因为，所以解得所以故答案为：1140【分析】根据空间向量基本定理确定各系数均为0【详解】是空间的一个基底，为不共面向量.又，.故答案为：01513【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得,再根据向量模的平方求得结果.【详解】因为平面平面，,，所以，因为，所以，故答案为：1316【分析根据，利用空间共面定理即可构造方程求得结果.【详解】为的中心，设，四点共面，即，.故答案为：.17【分析】以为原点，
9、建立空间直角坐标系，分别表示出点坐标，再利用向量垂直得，又，结合的代换关系和二次函数性质即可求解【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),设F(x,0,0),D(0,y,0)，则,，由于GDEF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为故答案为：18【分析】根据向量与的夹角为钝角，则由求解.【详解】因为向量与的夹角为钝角，所以，即，则，解得故答案为：19 【分析】设，可得，代入条件运算化简，联立方程求解即可.【详解】设，则，由，可得,化简得，,化简可得联立 ，解得，故答案为：200 【分析】根据题意作出图象，将转化为以点出
10、发的向量，进而可得，根据的取值范围即可求出.【详解】如图所示，设已知的正八面体为，易知平面于球心，且为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点为的中点，连接，则，由，得，即正八面体的内切球的半径为，所以，因为为正八面体表面上的任意一点，所以，所以，所以的最小值是0，最大值是.故答案为：0；.21（1）；（2）k=2或【分析】（1）先求得的坐标，然后利用两个向量平行的性质，得到含有未知数的的坐标，利用列方程，解方程求得未知数，由此求得.（2）先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】(1)因为且c/，所以设得,解得即(2)因为,所以又因为所以即解得k=2或22
11、（1）；（2）.【分析】（1）根据空间中三个点的坐标,可求得与,进而可得和.由向量数量积的定义即可求得.根据同角三角函数关系求得,再根据三角形面积公式即可求解.（2）根据三角形面积公式,即可求得边上的高.【详解】（1）由已知得,.（2）设边上的高为则.23（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明，由线面平行的判定定理即可求证；（2）由已知条件可得结合即可证明面，再证明可得面，由面面垂直的判定定理即可求证.【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以，因为面，面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，因为，所以面，因为，分别是，的中点，所以，所以面，因为面，所以平面平面.24（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出的坐标，由模长公式求模长即可求解；（3）求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，所以即.（2），所以，所以的长为.（3）由（1）知，设与所成角，则，故与所成角的余弦值为.