1、第六部分：平面解析几何（3）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2C4 D4【解析】抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2624，c2，其右焦点为(2,0)，2，p4.【答案】D2抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28x By212xCy216x Dy220x【解析】由题意知，36a5，a抛物线方程为y28x.【答案】A3已知抛物线y22px(p0)的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4Cp2
2、 Dp2【解析】设AB的方程为xmy.联立得y22pmyp20.y1y2p2，x1x2y12y22.4.【答案】B4(2012年大连联考)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3C. D.【解析】如图：设A(0,2)，抛物线焦点为F(,0)，根据抛物线的定义，P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|PF|，显然和最小时，应有A、P、F共线，且P在A、F之间，所求最小值为|AF| .【答案】A5已知直线ykxk和抛物线y22px(p0)，则()A直线和抛物线有一个公共
3、点B直线和抛物线有两个公共点C直线和抛物线有一个或两个公共点D直线和抛物线可能没有公共点【解析】因直线ykxk过定点(1,0)，当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点【答案】C二、填空题6已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_【解析】y24x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1，过F且斜率为1的直线方程为yx1，将其代入y24x得x26x10，解得x32，|FA|FB|，xA32，xB32，又|FA|xA1，|FB|xB1，32.【答案】327在抛物线y4x2上求一点，
4、使该点到直线y4x5的距离最短，该点的坐标是_【解析】设与y4x5平行的直线方程为y4xb，当直线y4xb与y4x2相切时，切点到直线y4x5的距离最短由得4x24xb01616b0，b1，代入式得x，y4()21，故切点为(，1)【答案】(，1)8(2011年湖南模拟)已知A(x1，y1)是抛物线y24x上的一个动点，B(x2，y2)是椭圆1上的一个动点，N(1,0)是一定点，若ABx轴，且x1x2，且NAB的周长l的取值范围是_【解析】由得，ABx轴，且x1x2，0x1，x22，又N(1,0)是抛物线的焦点，|AN|x11，|AB|x2x1，又|BN|2(x21)2y22(x21)23(1
5、)(4x2)2，|BN|(4x2)2x2，周长l3x2，而x22，l4.【答案】(，4)三、解答题9如图所示，已知F(0,1)，直线l：y2，圆C：x2(y3)21.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹方程E；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值【解析】(1)设M(x，y)，得=|y+2|-1.当y-2时，化简得x2=4y；当y-2时，有x2=8y+8，则y-1与y-2矛盾，故舍去点M的轨迹E的方程为x2=4y.(2)设P(x，y)，S=2SPAC，|AC|=1，若要S最小，则要SPAC最小要SP
6、AC= |PA|最小，即|PA|最小|PC|2=1+|PA|2，又|PC|2=x2+(y-3)2=4y+(y-3)2=(y-1)2+8，当y=1时，|PC|min2=8，Smin= ，此时点P的坐标为(2,1)10(2011年江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式【解析】(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2
7、)在抛物线C上，所以p=1.因此，抛物线C的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(,0)，又直线OA的斜率为 =1，故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此，所求直线的方程是x+y- =0.(3)方法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y=k(x-m)，k0.将x= +m代入y2=2x，有ky2-2y-2km=0，解得y1,2=由ME=2DM知1+ =2( -1)，化简得k2=.因此DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+)(y1-y2)2=(1+) (m2+4m)所以f(m)= (m0)方法二：设由点M(m,0)及得，t-0=2(0-s)因此t=-2s，m=s2.所以f(m)DE (m0)