1、9平面与平面垂直的判定及其性质史强学习目标1熟悉二面角、二面角的平面角、两个平面垂直的定义1掌握判断面面垂直的判定定理，归纳证明两个平面垂直的方法。2能利用面面垂直的性质解决一些线面位置关系的证明问题3掌握求二面角的常用方法4体会面面垂直、线面垂直、线线垂直的转化一、夯实基础基础梳理1二面角及二面角的平面角来源:学科网ZXXK从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面有的平面角。二面角的取值范围是2平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是
2、直二面角就说两个平面互相垂直。3平面与平面垂直的判定方法（1）定义法。（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直。符号语言：。说明：由线面垂直可以得到面面垂直。4平面与平面垂直的性质性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于_的直线必垂直于另一个平面。符号语言：。说明：由面面垂直可以得到线面垂直。基础达标1已知，有下列四个命题：；。其中正确的命题是（ ）A与B与C与D2下列四个命题中，正确的命题为_（填序号），则，则，则，则3如图，是正方形，平面，且。（1）在四棱锥的五个面中，共有_个直角三角形；（2）二面角的度数为_；（3）二面角的度数为_；（4）二面角的
3、度数为_；（5）二面角的度数为_。4在四面体中，且分别是的中点。求证：面面。5如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，。求证：平面二、学习指引自主探究1二面角与二面角的平面有什么区别与联系？2二面角的平面角有哪些求法？3如图，四棱锥中，底面为正方形，为棱锥的高，作出二面角的平面角4拓展思维：如图，直线与平面斜交于平面于，直线平面，作于，连接，设，（1）研究之间的关系。（2）斜线与平面内任何一条直线所成的所有角中，哪个角最小？案例分析1（2012年全国卷，有改动）如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，是棱的中点。证明：平面平面。【解析】证明：由题设知，所以平面。又平面，所以。由题设知，所以，即。又
4、，所以平面。又平面，故平面平面。2如图1，在直角梯形中，。将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示。在图2中，是直角三角形吗？为什么？【解析】取中点连结，则，又面面，面面面，从而平面，又，平面是直角三角形。说明：只要已知平面与平面垂直，就要联想到面面垂直的性质定量，即在其中的一个平面内找公共棱的垂线，该垂线必垂直另一平面。3如图，来源:Zxxk.Com证明：（1）；（2）。【解析】（1）证明：过作两个平面分别交平面，于。来源:学科网又，所以，。（2）证法一：在平面内分别作垂直于交线（如图）。又证法二：在内任取一点，作分另垂直于两个平面的交线（如图）。同理由（1）知。说明：由线面平行联想到线
5、面平行的性质定理，于是过直线作与平面相交的直线，面面垂直联想到面面垂直的性质定理，于是在其中一个平面内作公共棱的垂线这是通用做法三、能力提升能力闯关1在正四面体中，分别是、的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A平面B平面C平面平面D平面平面2已知平面和直线，给出条件：；。（1）当满足条件_时，有；（2）当满足条件_时，有。3设、是直角梯形两腰的中点，于（如图），现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则、的连线与所成角的大小等于_。拓展迁移4如图，三棱锥中，且为正三角形，、分别是、的中点，若截面侧面，求此棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值。5如图，在四棱锥中，、两两互相垂直，且，
6、是的中点。当平面与平面成多大角时，平面？挑战极限6如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面。（1）求证：；（2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论。课程小结面面垂直的判断定理包含了数学的化归思想，即“线面垂直 面面垂直”，可简化为“要证面面垂直，先证线面垂直”面面垂直的性质定理是一个特别容易忽视的定理。求二面角最常用的方法是“作垂线、再作垂线、连接”，即过己知点作平面的垂线，再过垂足作交线的垂线，连接第二个垂足与己知点，此法又称为“三垂线定理法”平面与平面垂直的判定及其性质一、夯实基础基础梳理.垂直.垂线.交线基础达标.正确否定、，正确否定，
7、故选.个；（）除了底面，侧面全是直角三角形（）平面，又为正方形，平面，又平面，平面平面，二面角为（）平面，为二面角的平面角来源:学,科,网Z,X,X,K又，二面角为（）平面，为二面角的平面角又为正方形，即二面角为（）作于，连则由知，从而，且，为二面角的平面角平面，又，平面，取中点，则，二面角的度数为说明：本题的模型可视为由正方体截得，分别是，的中点，是的中位线，是的中点，又，面面，面面因为平面平面，所以平面，（面面垂直的性质定理），所以因为是正方形，所以，所以平面二、学习指引.从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条
8、射线所成的角叫做二面角的平面角二面角是一个立体图形，二面角的平面角是一个平面图形度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.（）定义法：从二面角棱上一点的两个面内分别引棱的垂线（）垂线法：在二面角的一个面上一点引另一个面的垂线（为垂足）在另一平面内过作棱的垂线（为垂足），连接，则即为二面角的平面角（如图）（）垂面法：过两个面的垂线、作平面（即棱的垂面），则这个垂面与二面角两个面的交线、所夹的角就是二面角的平面角（如图）在平面内作于，连接，可证得，于是即为所求（）易得有中，即，在中，在中，即（）可代表斜线与平面内任何一条直线所成的所有角，观察可知，是其中最小的角三、能力提升；如图，由题意知三棱锥为正三棱锥，取得中点为，连接与交于点，由于截面侧面，则，又，则为等腰三角形且设底面正三角形的边长为，则在中，则显然就是所求的二面角，则取的中点，连结、是的中点，且，又，平行四边形，、两两垂直，平面，平面，平面，即为平面与平面所成的角记要使平面，只须，即在中只需，从而因此，当平面与平面成时，平面（）证明：如图，取得中点，连接，为等边三角形，又平面平面，平面在中，为等边三角形，又，平面，（）连接，且与相交于点，来源:学。科。网在中作，交于点，连接，平面又平面，平面平面是的中点，是的中点，在上存在一点，即为的中点，使得平面平面
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