1、核心模块四 解析几何专题十 直线与圆的基本问题在近三年的高考题中，直线与圆的基本问题考察都比较简单，直线与圆的方程求解以及位置关系的研究，属于容易题，常见于填空题和解答题第一小问年份填空题解答题2017T13考察直线与圆的位置关系2018T12考察直线与圆的位置关系T18考察直线方程和圆的方程2019T10 考察点到直线距离T18 考察直线与圆的实际应用问题目标 1 直线、圆的方程例 1(1)经过两条直线 3x4y50 和 3x4y130 的交点，且斜率为 2 的直线方程是_(2)圆心在直线 2xy70 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0，4)，B(0，2)两点，则圆 C 的方程为_(3)在平
2、面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(1)2xy70 解析：解法一：两条直线 3x4y50 和 3x4y130 的交点，由3x4y50，3x4y130可得交点坐标为(3，1)，所以经过两条直线 3x4y50 和 3x4y130 的交点，且斜率为 2 的直线方程是 y12(x3)，即 2xy70.解法二：设所求直线方程为(3x4y5)(3x4y13)0，整理可得 3(1)x4(1)y5130，又斜率为 2，即33442，解得 115，即直线方程为 2xy70点评：解法一是求出直线交点，再用点斜式求解；解法二是用经
3、过两直线交点的线系知识，简化了方程中未知数，各有不同(2)(x2)2(y3)25 解析：因为圆过点 A(0，4)，B(0，2)，所以圆心 C 的纵坐标为3，又圆心 C 在直线 2xy70 上，所以圆心 C 为(2，3)，从而圆的半径为 rAC 41 5，故所求圆的方程为(x2)2(y3)25.点评：求圆的方程用待定系数法具体有两条途径：一是用一般式，二是用标准式本题适合于求出圆心和半径得出圆的方程圆有一个性质在本题中要运用，即圆中每一个弦都存在一条直径是它的垂直平分线(3)(x1)2y22解析：由题意得：半径等于|m1|m21m12m21 1 2mm21 2，所以所求圆为(x1)2y22.点评
4、：本题已经知道圆心的坐标，只要确定半径，则可求出圆的方程【思维变式题组训练】1.已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则 l 的方程是_xy30 解析：由直线 l 与直线 xy10 垂直，可设直线 l 的方程为 xym0.又直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心(0,3)，则 m3，所以直线 l 的方程为 xy30.2.若抛物线 yx22x3 与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为_(x1)2(y1)25 解析：抛物线 yx22x3 关于直线 x1 对称，与坐标轴的交点为 A(1,0)，B(3,0)，C(0，3)，设圆心为 M(1，b)，半径为
5、 r，则 MA2MC2r2，即 4b21(b3)2r2，解得 b1，r 5，所以由交点确定的圆的方程为(x1)2(y1)25.3.若直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4，5)的距离相等，则直线 l 的方程为_x3y50 或 x1 解析：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，所以 k13.所以直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意x2y21 或 x2y237 解析：如图所示，因为
6、 A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，所以过 A，C 的直线方程为y131 x626，化为一般式为 x2y40.点 O 到直线 x2y40 的距离 d|4|5 4 55 1.4.已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为_又 OA 2232 13，OB 2212 5，OC 6212 37.所以以原点为圆心的圆若与ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，所以圆的半径分别为 1 或 37，则圆的方程为 x2y21 或 x2y237.目标 2 直线与圆的位置关系例 2(1)已知点 A(a
7、,1)和曲线 C：x2y2xy0，若过点 A 的任意直线都与曲线 C 至少有一个公共点，则实数 a 的取值范围是_(2)已知圆 M：(x1)2(y1)24，直线 l：xy60，A 为直线 l 上一点，若圆 M 上存在两点 B，C，使得BAC60，则点 A 的横坐标的取值范围为_(3)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆(x2)2(y2)21 上存在点 M，使得点 M 关于 x 轴的对称点 N 在直线 kxy30 上，则实数 k 的最小值为_(1)0,1 解析：圆的一般方程化为标准方程为x122y12212，所以圆心坐标为12，12，半径 r 22.当 y1 时，方程 x2y2xy0 可化为 x2
8、x0，解得 x0 或 x1.要使过点 A 的任意直线都与曲线 C 至少有一个交点，则点 A 应该在圆上或圆内，则 a 应满足 0a1.即实数 a 的取值范围为0,1(2)1,5 解析：由题意知，过点 A 的两直线与圆 M 相切时，夹角最大，当BAC60时，MAMBsinBAM2sin304.设 A(x,6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得 x1 或 x5，因此点 A 的横坐标的取值范围为1,5(3)43 解析：圆(x2)2(y2)21 关于 x 轴对称的圆的方程为(x2)2(y2)21，由题意得圆心(2，2)到直线 kxy30 的距离 d|2k23|k21 1，解得43k0，所以实数
9、k 的最小值为43.【思维变式题组训练】1.过直线 xy2 20 上点 P 作圆 x2y21 的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点 P 的坐标是_(2，2)解析：因为点 P 在直线 xy2 20 上，所以可设点 P(x0，x02 2)，且其中一个切点为 M.因为两条切线的夹角为 60，所以OPM30.故在RtOPM 中，有OP2OM2.由两点间的距离公式得OP x20 x02 222，解得 x0 2.故点 P 的坐标是(2，2)2.已知直线 l：yx4 与圆 C：(x2)2(y1)21 相交于 P，Q 两点，则CPCQ_.0 解析：解法 1(坐标法)：圆心 C(2,1)，由yx4，x22y
10、121，解得x2，y2或x3，y1，即 P(2,2)，Q(3,1)，CPCQ(0,1)(1,0)0.解法 2(定义法)：设弦 PQ 的中点为 M，则圆心 C(2,1)到直线 l：xy40 的距离dCM|214|2 22，因此 MQ R2d2112 22.因为 CMMQ，所以MCQ4，从而PCQ2，即有CPCQ，所以CPCQ 0.3.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)216 相交于 A，B 两点，且ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是_1 解析：由题意知ABC 为等腰直角三角形，且 ACBC4，AB4 2，所以圆心 C 到直线 axy20
11、的距离 d 422 222 2，所以|aa2|a21 2 2，解得 a1.4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2(y3)22，点 A 是 x 轴上的一个动点，AP，AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围是_2 143，2 2 解析：设PCA，所以 PQ2 2sin.又 cos 2AC，AC3，)，所以 cos0，23，所以 cos20，29，sin21cos279，1，所以 sin73，1，所以 PQ2 143，2 2.目标 3 圆与圆的位置关系例 3(1)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值
12、为_(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若与点 A(2,2)的距离为 1 且与点 B(m,0)的距离为 3的直线恰有两条，则实数 m 的取值范围是_(3)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y21，圆 M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，则 a 的取值范围为_(1)94 解析：两圆外切时圆心距等于半径之和，得|ab|3，所以 abab22|ab|2494.点评：根据圆与圆外切得到一个等式，再结合基本不等式求解(2)(22 3，2)(2,22 3)解析：由题意以 A(2,2)为圆心，1 为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3 为
13、半径的圆相交，所以 4(m2)2416，所以2 32m0,1t2k2t2t2t4，k20，所以对于任意 k，k2t2t4 都有解，所以只需 k20，所以 k0，92.一、填空题1.若直线(a22a)xy10 的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是_(2,0)解析：因为直线的斜率 ka22a，由题意得 a22a0，解得2a0.2.若直线 xy10 被圆 C：(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为_1 或 3 解析：半径 r2，半弦长 2，从而圆心到直线距离 d 2.由圆心到直线的距离公式可得|a1|2 2，解得 a1 或 a3.3.过点(10,10)且在 x 轴上的截距是
14、在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为_xy0 或 x4y300 解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为 xy0，满足题意当直线不经过原点时，设直线方程为 x4aya1，把点(10,10)代入可得a152，故直线方程为 x302y151，即 x4y300.综上所述，所求直线方程为 xy0 或 x4y300.4.两个圆：C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有_条2 解析：由题知 C1：(x1)2(y1)24，则圆心 C1(1，1)，C2：(x2)2(y1)24，圆心 C2(2,1)，两圆半径均为 2，又 C1C2 212112 130，所以 r2.由 N
15、 的任意性得 rmin|OM1|2，即 OM3.所以 a2(3a)29，即 a(a3)0.因为 a0，所以 a3.10.已知 A，B 是圆 C：x2y28x2y160 上两点，点 P 在抛物线 x22y 上，则当APB 取得最大值时，AB_.4 55 解析：如图，由题意知当 PA，PB 为定圆 C 的切线时，APB 取得最大值，A，B 为切点设BPC，Px0，x202.由圆 C：(x4)2(y1)21 知圆心 C(4,1)，半径 r1，所以 sinBCPC 1PC.又 PC2(4x0)21x2022x4048x017，令 f(x)x448x17，则 f(x)x38.当 x2 时，f(x)2 时
16、，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf(2)5，即 PCmin 5，所以(sin)max 55，此时APB 最大，所以 cos2 55 12ABCA，解得 AB4 55.二、解答题11.(1)已知圆 x2y2ax20 与直线 l 相切于点 A(3,1)，求直线 l 的方程；(2)记直线 x3y10 的倾斜角为，曲线 ylnx 在点(2，ln2)处切线的倾斜角为，求 的值解析：(1)点 A(3,1)在圆上，所以 913a20，得 a4，圆的方程为(x2)2y22，圆心 P(2,0)，kPA 10321，所以切线的斜率 k1，切线方程为 y1x3，即 xy40.(2)直线 x3y1
17、0 的斜率为 ktan13，ylnx 在点(2，ln2)处的切线的斜率为 ktan12，故 tan()1312113121.又 4，r1r22，所以两圆外离(2)两圆的标准方程为 C1：(xk)2y21，C2：x2(yk1)21，所以圆心为 C1(k,0)，C2(0，k1)，所以 C1C2 k2k12 2k22k12k12212，当 k12时，C1C2 取得最小值，最小值为 22.(3)因为两圆的半径相等，所以四边形 AC1BC2 是菱形由AC1B60，r1r21，得AB1，C1C2 3，即 C1C2 2k22k1 3，即 k2k10，解得 k1 52或 k1 52.将两圆的方程相减，得 2k
18、x2(k1)y2k10，设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则这两个点都在上，所以 方程是两圆公共弦所在的直线方程，将 k 的值分别代入方程，化简得两圆公共弦的方程(1 5)x(1 5)y 50 或(1 5)x(1 5)y 50.14.已知圆 H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，且截 x 轴所得线段的长为 2.(1)求圆 H 的方程；(2)若存在过点 P(a,0)的直线与圆 H 相交于 M，N 两点，且 PMMN，求实数 a的取值范围解析：(1)设圆 H 的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)因为圆 H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，所以
19、圆心 H(m，n)一定是两互相垂直的直线 xy10，xy30 的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以 m2，n1.又圆 H 截 x 轴所得线段的长为 2，所以 r212n22.所以圆 H 的方程为(x2)2(y1)22.(2)设 N(x0，y0)，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 Mx0a2，y02.因为 M，N 两点均在圆 H 上，所以(x02)2(y01)22，x0a22 2y021 22，即(x0a4)2(y02)28.设圆 I：(xa4)2(y2)28，由知圆 H 与圆 I 有公共点，从而 2 2 2HI2 2 2，即 2 a221223 2，整理可得 2a24a518，解得 2 17a1 或 3a2 17，所以实数 a 的取值范围是2 17，13,2 17
