1、2020-2021学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.1一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是（）A2B3C4D62设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（）A2B4CD3下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）sin2xBf（x）xexCf（x）x3xDf（x）x+lnx4函数f（x）x2lnx的最小值为（）ABCD5已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，则“a23b0”是“f（x）有三个不同的零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6函数f（
2、x）3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0）处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）ABCD7若数列an的通项公式是an（1）n（3n2），则a1+a2+a10（）A15B12C12D158若数列an的前n项和为Sn，且Sn2an+1，nN*，则下列说法不正确的是（）Aa516BS563C数列an是等比数列D数列Sn1是等比数列9若函数f（x）lnxax+1，aR有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（0，1）C（1，1）D（1，2）10已知函数f（x）x3+ax+b，其中a，bR，则下列选项中的条件使得f（x）仅有一个零点的有（）Aab，f（x）为奇函数Baln（b2+1
3、）Ca3，b240Da1，b二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分11设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5 ，Sn的最小值为 12设数列an为等比数列，其公比为q，已知a1+a2+a3+a43，a5+a6+a7+a848，则 13已知x轴为函数f（x）x3+ax+的图象的一条切线，则实数a的值为 14已知定义在区间（，）上的函数f（x）xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是 15已知函数f（x），其中a0如果对于任意x1，x2R，且x1x2，都有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是 三、解答题共4小题，共45分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16
4、已知公差不为0的等差数列an的首项a11，且a1，a2，a6成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Sn17在S264，q0，S396，S1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，nN*，满足_，S480问Tn是否存在最大值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由18已知函数，曲线yf（x）在x1处的切线经过点（2，1）（）求实数a的值；（）设b1，求f（x）在区间上的最大值和最小值19已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f（x）2；（3）若不
5、等式f（x）0恰有两个整数解，求实数a的取值范围参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是（）A2B3C4D6解：一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则，解得d，dZ，它的公差为4故选：C2设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则（）A2B4CD解：S531a1，a22a1，则故选：D3下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Af（x）sin2xBf（x）xexCf（x）x3xDf（x）x+lnx解：对于A，f（x）sin2x是周期函数，在
6、（0，+）上无单调性，不满足题意；对于B，f（x）xex，f（x）（1+x）ex，当x（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数；对于C，f（x）x3x，f（x）3x21，当x（0，）时，f（x）0，f（x）是减函数；x（，+）时，f（x）0，f（x）是增函数；不满足题意；对于D，f（x）x+lnx，f（x）1+，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）是增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）是减函数，不满足题意综上，在（0，+）上为增函数的是B故选：B4函数f（x）x2lnx的最小值为（）ABCD解：f（x）2xlnx+xx（2lnx+1）（x0），令f（x）0，得 ；
7、f（x）0，得 ；所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增；所以当时，f（x）有最小值：，故选：C5已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，则“a23b0”是“f（x）有三个不同的零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：f（x）3x2+2ax+b，若f（x）3x2+2ax+b0，且4a212b0，即a23b0时，设f（x）0两根为x1，x2，且x1x2，当xx1 或xx2时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1xx2时，f（x）0，f（x）单调递减，若，则f（x）有三个不同的零点，a23b0是f（x）有三个不同的零点的必要不充分条件故选：B6函数
8、f（x）3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0）处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）ABCD解：由f（x）3sinx+4cosx，得f（x）3cosx4sinx，f（0）3，又f（0）4，切线l的方程为3xy+40，取x0，解得切线l在y轴上的截距b4，取y0，解得切线l在x轴上的截距，直线l与坐标轴围成的三角形面积|a|b|故选：D7若数列an的通项公式是an（1）n（3n2），则a1+a2+a10（）A15B12C12D15解：依题意可知a1+a23，a3+a43a9+a103a1+a2+a105315故选：A8若数列an的前n项和为Sn，且Sn2an+1，nN*，则下列说法
9、不正确的是（）Aa516BS563C数列an是等比数列D数列Sn1是等比数列解：数列an的前n项和为Sn，且Sn2an+1，当n1时，解得a11，当n2时，Sn12an1+1，得：an2an2an1，故an2an1，整理得（常数），所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列；所以根据数列的通项公式和求和公式，整理得a516，由于，所以故ACD正确，B错误故选：B9若函数f（x）lnxax+1，aR有两个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（0，1）C（1，1）D（1，2）解：函数f（x）lnxax+1，aR有两个零点，等价为f（x）0即a有两个不等的实数解令g（x），g（x），当x1时
10、，g（x）0，g（x）递减；当0x1时，g（x）0，g（x）递增g（x）在x1处取得极大值，且为最大值1当x+，y0画出函数yg（x）的图象，由图象可得0a1时，yg（x）和ya有两个交点，即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点故选：B10已知函数f（x）x3+ax+b，其中a，bR，则下列选项中的条件使得f（x）仅有一个零点的有（）Aab，f（x）为奇函数Baln（b2+1）Ca3，b240Da1，b解：f（x）3x2+a，对于A：由f（x）是奇函数，知b0，因为a0，所以f（x）存在两个极值点，由f（0）0知，f（x）有三个零点，故A错误；对于B：因为b211，所以a0，f（x）0，所
11、以f（x）单调递增，则f（x）仅有一个零点，故B正确；对于C：若b2，f（x）3x23，则f（x）的极大值为f（1）4，极小值为f（1）0，此时f（x）有两个零点，故C错误；对于D：f（x）x3x+，f（x）3x21，令f（x）0，得x1，x2，当x（，）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（，）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）的极大值为f（）+0，极小值为f（）+0，所以f（x）有三个零点，故D错误故选：B二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分11设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a50，Sn的最小值为10解：
12、设等差数列an的前n项和为Sn，a23，S510，解得a14，d1，a5a1+4d4+410，Sn4n+（n）2，n4或n5时，Sn取最小值为S4S510故答案为：0，1012设数列an为等比数列，其公比为q，已知a1+a2+a3+a43，a5+a6+a7+a848，则解：a1+a2+a3+a43，a5+a6+a7+a848，（1q4）3，（1q8）（1q4）48，解得q416则故答案为：13已知x轴为函数f（x）x3+ax+的图象的一条切线，则实数a的值为解：由f（x）x3+ax+，得f（x）3x2+a，设切点为（x0，0），则，消去a并整理，得，则故答案为：14已知定义在区间（，）上的函数
13、f（x）xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，解：由题意得，f（x）sinx+xcosxsinxxcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和15已知函数f（x），其中a0如果对于任意x1，x2R，且x1x2，都有f（x1）f（x2），则实数a的取值范围是解：对于任意 x1，x2R，且 x1x2，都有 f（x1）f（x2） 成立，即函数f（x）在R上单调递增，先考察函数 g（x）x2+2x3，xR 的图象，配方可得 g（x）（x1）22，函数 g（x） 在 （，1）上单调递增，在 （1，+） 上单调递减，且 g（x）maxg（1）
14、2，a1，以下考察函数 h（x）xlnx，x（0，+） 的图象，则 h（x）lnx+1，令 h（x）lnx+10，解得 随着 x 变化时，h（x） 和 h（x） 的变化情况如下： x h（x）0+ h（x） 单调递减 极小值单调递增即函数 h（x） 在 上单调递减，在 上单调递增，且 对于任意 x1，x2R，且 x1x2，都有 f（x1）f（x2） 成立，即 h（x）ming（x）max，a 的取值范围为 故答案为：三、解答题共4小题，共45分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16已知公差不为0的等差数列an的首项a11，且a1，a2，a6成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn
15、，求数列bn的前n项和Sn解：（1）设等差数列an的公差为d，d不为0，由a11，且a1，a2，a6成等比数列，可得a22a1a6，即为（1+d）21+5d，解得d3，所以an1+3（n1）3n2；（2）bn（），则Sn（1+.+）（1）17在S264，q0，S396，S1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，nN*，满足_，S480问Tn是否存在最大值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解：若选S264，q0，S480，可得a1+a264，a3+a4S4S216，两式相除可得q2，解得q，由a1a164，解得a1128，所以a
16、na1qn1（1）n128n，当n为奇数时，an0，当n为偶数时，an0，当1n8时，|an|1；当n9时，|an|1，所以当n8时，前n项积为Tn取得最大若选S396，S480，则a4S4S316，即有a1q316，a1+a1q+a1q296，解得a1128，q，ana1qn1（1）n128n，当n为奇数时，an0，当n为偶数时，an0，当1n8时，|an|1；当n9时，|an|1，所以当n8时，前n项积为Tn取得最大若选S1，S480，则a1，（1+q+q2+q3）80，解得q，an28n，当1n6时，an1；当n7时，0an1所以当n6时，前n项积为Tn取得最大18已知函数，曲线yf（x
17、）在x1处的切线经过点（2，1）（）求实数a的值；（）设b1，求f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】（本小题满分13分）解：（）f（x）的导函数为，所以f（1）1a依题意，有 ，即 ，解得a1（）由（）得当0x1时，1x20，lnx0，所以f（x）0，故f（x）单调递增；当x1时，1x20，lnx0，所以f（x）0，故f（x）单调递减所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减因为，所以f（x）最大值为f（1）1设，其中b1则，故h（b）在区间（1，+）上单调递增所以h（b）h（1）0，即，故f（x）最小值为19已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论
18、f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f（x）2；（3）若不等式f（x）0恰有两个整数解，求实数a的取值范围解：（1）由题意，得 f（x） 的定义域为 若 a0，则当 x（0，+） 时，f（x）0，故 f（x） 在 （0，+） 上单调递增，若 a0，则当 时，f（x）0，当 时f（x）0，故 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减综上所述，若 a0，f（x） 在 （0，+） 上单调递增；若 a0，f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减（2）由（1）知，当 a0 时，f（x） 在 取得最大值，最大值为 ，所以 等价于 ，设 g（x）lnxx+1，则 ，当 x（0，1）时，g（x）0；当 x
19、（1，+） 时，g（x）0，所以 g（x） 在 （0，1）上单调递增，在 （1，+） 上单调递减，故当 x1 时，g（x） 取得最大值，最大值为 g（1）0，所以当 x0 时，g（x）0，从而当 a0 时，即 （3）当 a0 时，由 （1）知 f（x） 在 （0，+） 上单调递增，因为 f（1）1+3a0，所以当 x1 时，f（x）0 恒成立，不符合题意；当 a0 时，由 （1）知 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，（i） 当 时，此时 ，所以 f（x）max0，即 f（x）0 恒成立，显然不满足题意；（ii） 当 时，此时 ，1 当 ，即 时，此时结合题意有2 当 时，即 时，此时 f（1）1+3a0，f（2）2+ln2+8a0，f（3）3+ln3+15a0，与题意矛盾综上所述，a 的取值范围为