1、丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4请保持答题卡卡面清洁
2、，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知全集U=x|x5，集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意，集合，所以 ，故选C2. 已知命题p：x 1，则为A. x 1, B. x 1, C. x 1, D. x 1, 【答案】C【解析】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题的否定为，故选C3. 设不等式组表示的平面区域为.则A. 原点O在内B. 的面积是1C. 内的点到y轴的距离有最大值D. 若点P(x0,y0) ，则x0+y00【答案】A【解析】 由题
3、意，画出不等式组坐标表示的平面区域，原点在内是成立的；区域的面积不确定，所以不成立，区域到轴的距离无最大值令，即，当取原点时，目标函数取得最小值，此时，故选A4. 执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是A. n5 B. n6 C. n7 D. n8【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图，可得：第一循环；第二循环；第三循环；第四循环；第五循环；第六循环，此时输出，所以判断框应填入，故选C5. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为A. =sin B. =2sinC. =cos D. =2co
4、s【答案】D【解析】 由（为参数）得曲线普通方程为， 又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A7. 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为A. 4 B. 8 C. 12 D. 24【答案】B【解析】 由题意，现对两位男生全排列，共有种不同的方式， 其中两个男生
5、构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有，所以满足条件的不同的排法种数共有种，故选B8. 设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1 x2 x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由，则， 又由函数恰有三个零点，即与的图象有三个交点， 其中，可得， 又，解得， 所以，即，故选A 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质及函数与方程的应用，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，根据三角函数的基本形式即，后利用三
6、角函数的性质求解第二部分非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是，则_. 【答案】【解析】 由题意，根据复数的表示可知，所以10. 已知数列的前n项和=+n，则_.【答案】【解析】 由题意可知，数列满足， 所以11. 己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为_.【答案】【解析】 由双曲线的方程，可知 ，所以其下焦点的坐标为， 设抛物线的方程为，则，所以， 所以抛物线的方程为 点睛：本题考查了圆锥曲线的几何性质的应用及抛物线方程的求解，其中解答中涉及到双曲线的标准
7、方程及其简单的几何性质、抛物线的标准方程和焦点坐标的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键12. 在ABC中，a=2,c=4，且3sin A =2sin B,则cos C=_.【答案】【解析】 由题意，根据正弦定理可知，又，所以， 在中，由余弦定理可得点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.1
8、3. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.当时，y的取值范围是_;如果对任意(b 0)，都有，那么b的最大值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】 由图象可知，当时，函数在上的最小值， 当时，函数在上的最小值， 所以当，函数的值域为； 当时，函数，当时，函数，当时，或，又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以对于任意，要使得，则，或，则实数的最大值是点睛：本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出
9、关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.14. 已知是平面上一点，若，则_；若，则的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】 由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点， 因为，所以，如图所示，则， （2）中，因为，所以，如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，
10、涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 己知函数 ()求f(x)的定义域及最小正周期； ()求f(x)的单调递减区间【答案】(1) ,;(2) 的单调递减区间为， 【解析】试题分析：（）根据三角恒等变换的公式，化简，即可得到函数的最小正周期；（）根据三角函数的图象与性质，即可得到函数的单调区间试题解析：（）由 得，所以的定义域为 因为 所以的最小正周期为 （）由 ， 可得 ， 所以
11、的单调递减区间为， 16. 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB平面ABCD, ABBC, AD/BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,PB()求证：BCPB;()求二面角P一CD一A的余弦值；()若点E在棱PA上，且BE/平面PCD，求线段BE的长【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（）根据面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得所以； （）建立空间直角坐标系，得到向量的坐标，再得到平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可得到二面角的余弦值；（）由点在棱，所以，得到所以， 再根据与平面的法向量的数量积等于零，即可求解的值试题解析：（）证明：因为平面平面，且平
12、面平面，因为，且平面所以平面 因为平面，所以 （）解：在中，因为，所以，所以 所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以， 易知平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则 设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为 （）解：因为点在棱，所以， 因为，所以， 又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以 所以，所以 17. 某地区工会利用 “健步行”开展健步走积分奖励活动会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）记年龄不超过40岁的会员为类会员，年龄大于40岁的会员为类会员为了解会员的健步走情况，工会从两类会员中各随机
13、抽取名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为，九组，将抽取的类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示） （）求和的值；（）从该地区类会员中随机抽取名，设这名会员中健步走的步数在千步以上（含千步）的人数为，求的分布列和数学期望；（）设该地区类会员和类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）【答案】（）,；（）分布列见解析，；（）.【解析】试题分析：（）根据题意，根据上表的数据，即可求解和的值；（）由题意从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上的概率为，根据二项分布求得各自的概率，列出分布列，即可求解数学
14、期望；（）根据平均分的计算公式，即可作出比较试题解析：（）因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 所以 ，（）由频率分布直方图可得，从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为 所以， ； 所以，的分布列为0123. （） 18. 已知函数.()求曲线在点处的切线方程；()若函数在上有极值，求a的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意，因为，利用点斜式方程即可求解切线的方程；（）由，分和讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围试题解析：函数的定义域为， （）因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即 （）（）
15、当时，对于任意，都有，所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意 （）当时，令，则 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以函数在上有极值，等价于 所以 所以所以的取值范围是 19. 已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值【答案】（）（）见解析【解析】试题分析：（）依题意，得到，利用定义得到，即可求解椭圆的标准方程；（）设，根据直线方程，求解的坐标，可得，利用 ，求得的值，即可得到弦长为定值 试题解析：（）依题意，椭圆的另一个焦点为，且 因为， 所以， 所以椭圆的方程为 （）
16、证明：由题意可知，两点与点不重合因为，两点关于原点对称，所以设， 设以为直径的圆与直线交于两点，所以 直线：当时，所以 直线：当时，所以 所以， 因为，所以， 所以 因为，即， 所以，所以 所以， 所以所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分
17、析问题解决问题的能力等20. 已知无穷数列的前n项和为，记，中奇数的个数为()若= n，请写出数列的前5项；()求证：为奇数， (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；()若，i=1, 2, 3,，求数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .【解析】试题分析：（）代入的值，即可求得， （）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明（）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式试题解析：（）解：， （）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数 所以 所以数列是单调递增数列 （不必要性）当数列中只有是奇数，其余
18、项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列 所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件； 综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件（）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾所以当为奇数时，不能为偶数 （2）当为偶数时， 如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾所以当为偶数时，不能为奇数 综上可得与同奇偶所以为偶数因为为偶数，所以为偶数 因为为偶数，且，所以因为，且，所以 以此类推，可得 点睛：本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.