1、核心模块五 函数与导数专题十五导数在研究函数性质中的应用在近三年的高考题中，导数应用于复杂函数的单调性、极值和最值的应用，一直是考察热点和难点，尤其是在压轴题中出现考察函数性质的综合运用年份填空题解答题2017 T11考察导数研究函数单调性T20考察导数在函数性质中的运用2018 T11考察导数在函数性质中的运用T19考察导数在函数性质中的运用2019T11导数的几何意义T19函数与导数的综合问题目标 1 高次函数的性质例 1 设函数 f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设 ab4，若函数 f(x)有 3 个不同零点，求 c 的取值范围；(3
2、)求证：a23b0 是 f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件解析：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.因为 f(0)c，f(0)b，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 ybxc.(2)当 ab4 时，f(x)x34x24xc，所以 f(x)3x28x4.令 f(x)0，得 3x28x40，解得 x2 或 x23.f(x)与 f(x)在区间(，)上的情况如下：x(，2)22，232323，f(x)00f(x)c c3227 所以当 c0 且 c32270 时，存在 x1(4，2)，x22，23，x323，0，使得 f(x1)f(x2)f(x3)
3、0.由 f(x)的单调性知，当且仅当 c0，3227 时，函数 f(x)x34x24xc 有 3 个不同零点(3)当 4a212b0，x(，)，此时函数 f(x)在区间(，)上单调递增，所以 f(x)不可能有 3 个不同零点当 4a212b0 时，f(x)3x22axb 只有 1 个零点，记作 x0.当 x(，x0)时，f(x)0，f(x)在区间(，x0)上单调递增；当 x(x0，)时，f(x)0，f(x)在区间(x0，)上单调递增所以 f(x)不可能有 3 个不同零点综上所述，若函数 f(x)有 3 个不同零点，则必有 4a212b0.故 a23b0 是 f(x)有 3 个不同零点的必要条件
4、当 ab4，c0 时，a23b0，f(x)x34x24xx(x2)2 只有 2 个不同零点，所以 a23b0 不是 f(x)有 3 个不同零点的充分条件因此 a23b0 是 f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件点评：方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；充要条件的证明问题，成立必须进行严格的推理，不成立只要举反例就可以了【思维变式题组训练】1.已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_1，12 解析：因为 f(x)x32x1exexf(x)，所以函数 f(x)是奇函数因为
5、f(x)3x22exex3x222 exex0，所以函数f(x)在R上单调递增又 f(a1)f(2a2)0，即 f(2a2)f(1a)，所以 2a21a，即 2a2a10，解得1a12，故实数 a 的取值范围为1，12.2.若函数 f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是_22，解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)由 f(x)0 得 xa.当axa 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 xa 或 xa 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以 f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a)所以 f(a)a33a3a0 且 f(a)a3
6、3a3a0，解得 a 22.所以 a 的取值范围是22，.解析：由已知，有 f(x)2x2ax2(a0)令 f(x)0，解得 x0 或 x1a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：3.已知函数 f(x)x223ax3(a0)，xR.求 f(x)的单调区间和极值x(，0)00，1a1a1a，f(x)00f(x)0 13a2 所以 f(x)的单调增区间是0，1a；单调减区间是(，0)，1a，.当 x0 时，f(x)有极小值，且极小值 f(0)0；当 x1a时，f(x)有极大值，且极大值 f1a 13a2.4.设函数 f(x)x3axb，xR，其中 a，bR.(1)求 f(x)的单调
7、区间；(2)若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1)f(x0)，其中 x1x0，求证：x12x00；(3)设 a0，函数 g(x)|f(x)|，求证：g(x)在区间1,1上的最大值不小于14.(1)解析：由 f(x)x3axb，可得 f(x)3x2a，下面分两种情况讨论：当 a0 时，有 f(x)3x2a0 恒成立，所以 f(x)的单调增区间为(，)当 a0 时，令 f(x)0，解得 x 3a3 或 x 3a3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x，3a3 3a3 3a3，3a33a33a3，f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以 f(x)的单调减区
8、间为 3a3，3a3，单调增区间为，3a3，3a3，.(2)证明：因为 f(x)存在极值点，所以由(1)知 a0 且 x00.由题意得 f(x0)3x20a0，即 x20a3，进而 f(x0)x30ax0b2a3 x0b.又 f(2x0)8x302ax0b8a3 x02ax0b2a3 x0bf(x0)，且2x0 x0，由题意及(1)知，存在唯一实数 x1 满足 f(x1)f(x0)，且 x1x0，因此 x12x0，所以 x12x00.(3)证明：设 g(x)在区间1,1上的最大值为 M，maxx，y表示 x，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：当 a3 时，3a3 11 3a3，由(1)知
9、f(x)在区间1,1上单调递减，所以 f(x)在区间1,1上的取值范围为f(1)，f(1)，因此Mmaxf(1)，f(1)max|1ab|，|1ab|max|a1b|，|a1b|a1b，b0，a1b，b0，所以 Ma1|b|2.当34a3 时，2 3a31 3a3 3a3 12 3a3，由(1)和(2)知 f(1)f2 3a3f3a3，f(1)f2 3a3f 3a3，所以 f(x)在区间1,1上的取值范围为f3a3，f 3a3，所以 max2a93ab，2a93ab 2a93a|b|293433414.当 0a34时，12 3a32 3a31，由(1)和(2)知，f(1)f2 3a3f 3a3
10、，所以 f(x)在区间1,1上的取值范围为f(1)，f(1)，因此Mmaxf(1)，f(1)max|1ab|，|1ab|max|1ab|，|1ab|1a|b|14.综上所述，当 a0 时，g(x)在区间1,1上的最大值不小于14.点评：1.求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f(x)0 或 f(x)0 的解集(4)由 f(x)0(f(x)0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2.由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题
11、，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到目标 2 基本初等函数的混合型的性质例 2 已知函数 f(x)ax2bxlnx，a，bR.(1)当 ab1 时，求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程；(2)当 b2a1 时，试讨论函数 f(x)的单调性解析：(1)因为 ab1，所以 f(x)x2xlnx，从而 f(x)2x11x.因为 f(1)0，f(1)2，所以曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y02(x1)，即 2xy20.(2)因为 b2a1，所以 f(x)ax2(2a1)xlnx，从而 f(x)2ax(2a1)1x2ax22a1x1x2ax1x1x，
12、x0.当 a0 时，若 x(0,1)，则 f(x)0；若 x(1，)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当 0a12时，由 f(x)0 得 0 x1 或 x 12a；由 f(x)0 得 1x 12a，所以 f(x)在区间(0,1)和12a，上单调递增，在区间1，12a 上单调递减当 a12时，因为 f(x)0(当且仅当 x1 时取等号)，所以 f(x)在区间(0，)上单调递增当 a12时，由 f(x)0 得 0 x 12a或 x1；由 f(x)0 得 12ax1，所以 f(x)在区间0，12a 和(1，)上单调递增，在区间12a，1 上单调递减例
13、 3 已知函数 f(x)alnx1x(a0)(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在1，e上的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由解析：由题意，知函数的定义域为x|x0，f(x)ax1x2ax1x2(a0)(1)由 f(x)0，解得 x1a，所以函数 f(x)的单调递增区间是1a，；由 f(x)0，解得 0 x1a，所以函数 f(x)的单调递减区间是0，1a.所以当 x1a时，函数 f(x)有极小值 f1a aln1aaaalna，无极大值(2)不存在，理由如下：由(1)可知，当 x0，1a 时，函数 f(x)单调递减；当 x1
14、a，时，函数 f(x)单调递增 若 01a1，即 a1 时，函数 f(x)在1，e上为增函数，故函数 f(x)的最小值为 f(1)aln111，显然 10，故不满足条件 若 11ae，即1ea1 时，函数 f(x)在1，1a 上为减函数，在1a，e 上为增函数，故函数 f(x)的最小值为 f(x)的极小值 f1a aln1aaaalna0，即 lna1，解得 ae，而1ea1，故不满足条件 若1ae，即 0a1e时，函数 f(x)在1，e上为减函数，故函数 f(x)的最小值为f(e)alne1ea1e0，即 a1e，而 0a1e，故不满足条件综上所述，不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在
15、1，e上的最小值为 0.【思维变式题组训练】1.若函数 f(x)x212lnx1 在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数 a 的取值范围是_1，32 解析：由题意，得函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x 12x4x212x，令 f(x)0，得 x12x12舍去，则由已知得 a10，a112，a112，解得 1a32.2.已知函数 f(x)(x1)lnxaxa(a 为正实数，且为常数)(1)若函数 f(x)在区间(0，)上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若不等式(x1)f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解析：(1)f(x)(x1)lnxaxa，f(x)
16、lnxx1x a.因为 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)0，即 alnx1x1(x0)恒成立令 g(x)lnx1x1，则 g(x)x1x2，当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)g(x)0g(x)极小值 因此 g(x)ming(1)2，即 0a2.(2)当 0a2 时，由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递增又 f(1)0，所以当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0.故不等式(x1)f(x)0 恒成立若 a2，则 f(x)xlnx1ax1x.设 p(x)xlnx(1a)x1，令 p(x)lnx2a0，则 xea21.当
17、x(1，ea2)时，p(x)0，p(x)单调递减，则 p(x)p(1)2a0，则 f(x)pxx 0，所以当 x(1，ea2)时，f(x)单调递减，则当 x(1，ea2)时，f(x)f(1)0，此时(x1)f(x)0，矛盾因此 0a2.3.若函数 yf(x)在 xx0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf(x)的极值点已知函数 f(x)ax33xlnxa(aR)(1)当 a0 时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)在区间1e，e 上有且只有一个极值点，求实数 a 的取值范围解析：(1)当 a0 时，f(x)3xlnx，所以 f(x)3(lnx1)令 f(x)0，得 x1e.当 x
18、0，1e 时，f(x)0，所以 f(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增所以当 x1e时，f(x)有极小值 f1e 3e.(2)解法 1:设 g(x)f(x)3(ax21lnx)，D1e，e.由题意，g(x)在 D 上有且只有一个零点 x0，且 x0 两侧 g(x)异号 当 a0 时，g(x)在 D 上单调递增，且 g(x)g1e 0，所以 g(x)在 D 上无零点 当 a0 时，在(0，)上考察 g(x)：g(x)6ax 12a x 12ax.令 g(x)0，得 x1 12a.所以 g(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，)上单调递减()当 g(e)g1e 0，即(ae22)a
19、e20，即2e2a0.又因为 g1e 3ae20，所以 g(x)在 D 上有且只有一个零点 x0，且 x0 两侧 g(x)异号综上所述，实数 a 的取值范围是2e2，0.解法 2:令 f(x)3(ax21lnx)0，得a1lnxx2.设 h(x)1lnxx2，则 h(x)12lnxx3.令 h(x)0，得 x0e121e，e.当 x(x0，e)，h(x)0，所以 h(x)在1e，x0 上为增函数所以 x0 为 h(x)的极大值点又 h1e 0，h(e)2e2，h(x0)12e，所以 0a2e2或a12e，即2e2a0，所以 m(x)在1e，e12 上为增函数；当 x(e12，e)时，m(x)0
20、，解得 x12，所以函数 f(x)2xlnx 的单调增区间为12，.3.函数 f(x)2xlnx 的单调增区间是 _.4.已知函数 f(x)12x2blnx 在区间2，)上是单调减函数，则 b 的取值范围是_(，4 解析：f(x)xbx0 在2，)上恒成立，即 bx2 在2，)上恒成立32，4 解析：因为函数 f(x)在(1,2)上有极值，则需函数 f(x)在(1,2)上有极值点解法 1:令 f(x)x22x2a0，得 x11 12a，x21 12a.因为x1(1,2)，因此则需 1x22，即 11 12a2，即 412a9，所以32a4，故实数 a 的取值范围为32，4.5.已知函数 f(x
21、)13x3x22ax1，若函数 f(x)在(1,2)上有极值，则实数 a 的取值范围为_解法 2:f(x)x22x2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为 x1，则f(x)在(1,2)上是单调增函数，因此f132a0，解得32a2ex 的解集是_(0，)解析：由 f(x)f(x)有 f(x)f(x)0，所以函数 yfx2ex在 R 上是增函数又由 f(x)2ex，得fx2ex1f02e0，所以 x0.1 解析：由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a.当 0 x1a时，f(x)0；当 x1a时，f(x)0.所以 f(x)maxf1a lna11，解
22、得 a1.7.已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f(x)lnxaxa12，当 x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则 a_.8.若函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象与 x 轴相切于点 A(m,0)(m0)，且 f(x)的极大值为12，则 m 的值为_32 解析：f(x)在(m,0)处的切线方程为 x 轴，故 f(m)3m22amb0.又(m,0)在函数 f(x)的图象上，故 m(m2amb)0，因为 m0，故 m2amb0.2得 bm2，a2m，故 f(x)x32mx2m2x，f(x)3x24mxm2(3xm)(xm)若 m0，令 f(x)0，解得 xm 或 xm3
23、；令 f(x)0，解得m3xm，故函数 f(x)在 xm3处取得极大值，故 fm3 m332mm32m2m312，解得 m32.若 m0，令 f(x)0，解得 xm 或 xm3；令 f(x)0，解得 mxm3，故函数f(x)在 xm 处取得极大值，故 f(m)m32mm2m2m12，无解，所以 m32.0，12 解析：f(x)lnxaxx1xa lnx2ax1，函数 f(x)有 2 个极值点等价于方程 lnx2ax10 有 2 个大于零的不相等的实数根令 y1lnx，y22ax1，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，显然 a0 时，两个函数图象只有 1 个公共点，故 a0，此时当直线的斜率逐渐
24、变大直到直线 y2ax1 与曲线 ylnx 相切时，两函数图象均有 2 个不同的公共点，y11x，故曲线 ylnx 上的点(x0，lnx0)处的切线方程是 ylnx01x0(xx0)，该直线过点(0，1)，则1lnx01，解得x01，故过点(0，1)的曲线 ylnx 的切线斜率是 1，故 2a1，即 a12，所以 a的取值范围是0，12.9.已知函数 f(x)x(lnxax)有 2 个极值点，则实数 a 的取值范围是_10.已知函数 f(x)34x1x，若直线 l1，l2 是函数 yf(x)图象的两条平行的切线，则直线 l1，l2 之间的距离的最大值是_2 解析：因为 f(x)34 1x2，记
25、 l1，l2 的切点分别为 x1，34x11x1，x2，34x21x2，且 x1x2，所以341x21341x22，所以 x1x2.因为 l1：y34x11x1 341x21(xx1)，化简得(3x214)x4x21y8x10.同理 l2：(3x224)x4x22y8x20 即(3x214)x4x21y8x10.所以 d|16x1|3x21424x21216|x1|25x4124x21161625x212416x21.因为 25x2116x21225x2116x2140，所以 d1640242，当且仅当 x12 55 时取等号，所以距离的最大值为 2.二、解答题11.已知函数 f(x)lnxm
26、x(mR)(1)若曲线 yf(x)过点 P(1，1)，求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间1，e上的最大值解析：(1)因为点 P(1，1)在曲线 yf(x)上，所以m1，解得 m1，f(x)lnxx.因为 f(x)1x1，所以切线的斜率为 0，所以切线的方程为 y1.(2)f(x)1xm1mxx.当 m0 时，x1，e，f(x)0，所以函数 f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)maxf(e)1me.当1me，即 0m1e时，x1，e，f(x)0，所以函数 f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)maxf(e)1me.当 11me，即1em1 时，函数 f(
27、x)在1，1m 上单调递增，在1m，e 上单调递减，则 f(x)maxf1m lnm1.当1m1，即 m1 时，x1，e，f(x)0，所以函数 f(x)在1，e上单调递减，则 f(x)maxf(1)m.综上，当 m1e时，f(x)max1me；当1em1 时，f(x)maxlnm1；当 m1时，f(x)maxm.12.已知函数 f(x)(lnxk1)x(kR)(1)当 x1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意 xe，e2，都有 f(x)4lnx 成立，求实数 k 的取值范围解析：(1)f(x)lnxk，其中 x1.若 k0，则 x1 时，f(x)0 恒成立，f(x)在(1，
28、)上单调递增，无极值；若 k0，则 f(x)在(1，ek上单调递减，在ek，)上单调递增，有极小值 f(ek)ek，无极大值(2)问题可转化为 k14x lnx1 对 xe，e2恒成立设 K(x)14x lnx1，则 K(x)4x2lnx14x1x4x2(lnx1)1x.当 xe，e2时，K(x)1x0，所以 K(x)在e，e2上单调递增，K(x)maxK(e2)18e2.所以实数 k 的取值范围是18e2，.13.已知函数 f(x)axlnx，g(x)eax2x，其中 aR.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的极值；(2)若存在区间 D(0，)，使得 f(x)与 g(x)在区间 D 上具有
29、相同的单调性，求实数 a 的取值范围解析：(1)当 a2 时，f(x)2xlnx，定义域为(0，)，则 f(x)21x，故当 x0，12 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x12，时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x12处取得极小值，且 f12 1ln2，无极大值(2)由题意知，f(x)a1x，g(x)aeax2.当 a0 时，g(x)0，即 g(x)在 R 上单调递增，而 f(x)在1a，上单调递增，故必存在区间 D(0，)，使得 f(x)与 g(x)在区间 D 上单调递增；当 a0 时，f(x)1x0，故 f(x)在(0，)上单调递减，而 g(x)在(0，)上单调递增，
30、故不存在满足条件的区间 D；当 a0 时，f(x)a1x0，即 f(x)在(0，)上单调递减，而 g(x)在，1aln2a 上单调递减，在1aln2a，上单调递增，若存在区间 D(0，)，使得 f(x)与 g(x)在区间 D 上有相同的单调性，则有1aln2a 0，解得 a2.综上可知，实数 a 的取值范围为(，2)(0，)14.设 A，B 为函数 yf(x)图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数在点A，B 处分别作函数 yf(x)的切线，若这两条不重合的切线存在交点，则称这个交点为函数 f(x)的“优点”(1)若函数 f(x)lnx，0 x1不存在“优点”，求实数 a 的值；(2)求
31、函数 f(x)x2 的“优点”的横坐标的取值范围；(3)求证：函数 f(x)lnx 的“优点”一定落在第一象限解析：(1)不妨设 A(t，f(t)(0t1)，当 0 x1时，f(x)2ax，则 f1t 2at，因为函数 f(x)lnx，0 x1不存在“优点”，所以对任意的 0t0 时，t1t2；当 t0 时，t1t0，y00.设 A(t，lnt)，B1t，lnt，不妨设 A 在 B 的右边，则 t1，过 A，B 的切线方程分别为 y1t(xt)lnt，ytx1t lnt，联立这两个方程得 x0 2tt21lnt，y0t21lntt211，因为 t1，所以 x0 2tt21lnt0.设 h(t)lntt21t21(t1)，则 h(t)t212tt2120(t1)所以函数 h(t)在(1，)上是增函数，所以 h(t)h(1)0，则 lntt21t21.因为当 t1 时，t210，所以 y0t21lntt2110.故函数 f(x)lnx 的“优点”P 一定落在第一象限