1、高考资源网（） 您身边的高考专家防城中学2020年秋季期10月高三数学（理科）月考试题一选择题（共12小题）1设集合Mx|x2x，Nx|lgx0，则MN（）A0，1B（0，1C0，1）D（，12若复数（i为虚数单位），则|z|（）A2B1CD3等比数列an中，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD4ABC中，AB2，AC3，B60，则cosC（）ABCD5已知向量与，则“k2”是“共线且方向相反”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（）A5B6C7D87在空间中，a、b、c是三条不同的直
2、线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若ac，bc，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若，a，则a8甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）ABCD9函数f（x）xln|x|的图象可能是（）ABCD10已知a30.2，blog64，clog32，则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDbca11已知F1，F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）ABCD12定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）f（x），且在0，1）
3、上单调递减，若方程f（x）1在0，1）上有实数根，则方程f（x）1在区间1，11上所有实根之和是（）A30B14C12D6二填空题（共4小题）13在（x）6的展开式中，x2的系数为 14若x，y满足则zx+2y的最大值为 15已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a 16已知f（x），若不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，则a的最大值为 三解答题（共7小题）17已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（）求角A的大小；（）若a2，D为BC的中点，求ABC的面积18手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走
4、步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170的概率19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1；（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值20已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且椭
5、圆上一点到两个焦点的距离之和为2（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的动直线I与椭圆C交于A、B两点，点S（，0）在直线l上，求证无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）21设函数f（x）lnxax2+a（aR）（1）讨论f（x）单调性；（2）若；对于任意的x（1，+），使得f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围22在直角坐标系a中，点P（1，0），直线l的参数方程是（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2+8cos30（）求圆C的直角坐标系下的标准方程；（）已知l与圆C交于A，B两点，且，求l的普通方程23已知函数f（x）|x1|+m|x
6、+2|（1）m2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若函数f（x）的图象恒在直线yx的图象的上方（无公共点），求实数m的取值范围防城中学2020年秋季期10月高三数学（理科）月考试题参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1设集合Mx|x2x，Nx|lgx0，则MN（）A0，1B（0，1C0，1）D（，1【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案【解答】解：由Mx|x2x0，1，Nx|lgx0（0，1，得MN0，1（0，10，1故选：A【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题2若复数（i为虚数单位），则|z|（）A2B1CD【分析】根据
7、复数的运算性质计算即可【解答】解：i，故|z|，故选：C【点评】本题考查了复数的运算，复数求模问题，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键3等比数列an中，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD【分析】利用等比数列的通项公式可得a6再利用a4a8，即可得出a4与a8的等比中项【解答】解：，a6a2q4244又a4a816a4与a8的等比中项是4故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、等比中项，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4ABC中，AB2，AC3，B60，则cosC（）ABCD【分析】由已知及正弦定理可得sinC，又ABAC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关
8、系式即可求得cosC得值【解答】解：AB2，AC3，B60，由正弦定理可得：sinC，又ABAC，C为锐角，cosC故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5已知向量与，则“k2”是“共线且方向相反”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由向量共线的坐标运算可得，k2，得到共线，方向相同或相反；反之，共线且方向相反，得到k2，则k2【解答】解：由，且共线，得k240，解得k2当k2时，共线且方向相同；当k2时，共线且方向相反“k2”是“共线且方向相反”的必要不充分条
9、件故选：B【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查向量共线的坐标运算，是基础题6按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（）A5B6C7D8【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，由此运算规律进行计算，经过运算后输出的结果是63，从而得解【解答】解：由图知运算规则是对S2S+1，执行程序框图，可得A1，S1满足条件AM，第一次进入循环体后S21+13，满足条件AM，第二次进入循环体后S23+17，满足条件AM，第三次进入循环体后S27+115，满足条件AM，第四次进入循环体后S215+131，满足条件AM，第五次进入循环体后S231+1
10、63，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A5故判断框中的整数M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次故选：A【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题是算法中一种常见的题型，属于基础题7在空间中，a、b、c是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若ac，bc，则abB若a，b，则abC若a，b，则abD若，a，则a【分析】由空间中直线与直线的位置关系判定A；由空间中平面与平面垂直的定义及性质判断B；由直线与平面、平面与平面平行的性质判断C；由平面与平面、直线与平面平行的定义判断D【解答】解：对于A，若a
11、c，bc，则ab或a与b相交或a与b异面，故A错误；对于B，若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故B错误；对于C，若a，b，则ab或a与b异面，故C错误；对于D，若，a，则a，故D正确故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题8甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m20，由此能求出甲乙两人中至少有一人站在两端的概率【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n，甲、乙两人
12、中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m20，甲乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题9函数f（x）xln|x|的图象可能是（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可【解答】解：函数f（x）xln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x时，y，对应点在x轴下方，排除 B；故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法10已知a30.2，blog64，clog32，则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDbca【分析】a3
13、0.21，利用换底公式可得：blog64，clog32，由于1log26log29，即可得出大小关系【解答】解：a30.21，blog64，clog32，1log26log29，1bc，则abc，故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知F1，F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（）ABCD【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0
14、），F2（c，0），直线AP的方程为：y（x+a），由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则P（2c，c），代入直线AP：c（2c+a），整理得：a4c，题意的离心率e故选：D【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题12定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）f（x），且在0，1）上单调递减，若方程f（x）1在0，1）上有实数根，则方程f（x）1在区间1，11上所有实根之和是（）A30B14C12D6【分析】根据条件可得出f（x）的图象关于x1对称，f（x）的周期为4，从而可考虑f（x）的一个周期，利用1，3，根据f（x）在0，1）上是减函数可得出f（x）在
15、（1，2上是增函数，f（x）在（1，0）上是减函数，在2，3）上是增函数，然后根据f（x）1在0，1）上有实数根，可判断该实数根是唯一的并可判断f（x）1在一个周期1，3内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出f（x）1在区间1，11这三个周期内上有6个实数根，和为30【解答】解：由f（2x）f（x）知函数f（x）的图象关于直线x1对称，f（2x）f（x），f（x）是R上的奇函数，f（x）f（x+2）f（x），f（x+4）f（x），f（x）的周期为4，考虑f（x）的一个周期，例如1，3，由f（x）在0，1）上是减函数知f（x）在（1，2上是增函数，f（x）在（1，0上是减函数，f（x）在
16、2，3）上是增函数，对于奇函数f（x）有f（0）0，f（2）f（22）f（0）0，故当x（0，1）时，f（x）f（0）0，当x（1，2）时，f（x）f（2）0，当x（1，0）时，f（x）f（0）0，当x（2，3）时，f（x）f（2）0，方程f（x）1在0，1）上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，则由于f（2x）f（x），故方程f（x）1在（1，2）上有唯一实数，在（1，0）和（2，3）上f（x）0，则方程f（x）1在（1，0）和（2，3）上没有实数根，从而方程f（x）1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x1，3，方程f（x）1的两实数根之和为x+2x2，当x1
17、，11，方程f（x）1的所有6个实数根之和为x+2x+4+x+4+2x+x+8+2x+82+8+2+8+2+830故选：A【点评】本题考查了由f（2ax）f（x）可判断f（x）关于xa对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题二填空题（共4小题）13在（x）6的展开式中，x2的系数为【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数【解答】解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（x）6r（）r（）rx62r，令62r2，解得r2，展开式中x2的系数为，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开
18、式中某项的系数，属于中档题14若x，y满足则zx+2y的最大值为2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线zx+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入zx+2y得答案【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由zx+2y，得y+要使z最大，则直线y+的截距最大，由图可知，当直线y+过点A时截距最大联立，解得，A（0，1），zx+2y的最大值为0+212故答案为：2【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题15已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（
19、2，7），则a1【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）ax3+x+1的导数为：f（x）3ax2+1，f（1）3a+1，而f（1）a+2，切线方程为：ya2（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2（3a+1）（21），解得a1故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力16已知f（x），若不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，则a的最大值为【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，利用参数分离法求出a的范围即可得到结论【解答】解：不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，若x0，则x22则不等
20、式f（x2）f（x）等价为，2（x2）2x，即40，此时不等式恒成立，若0x2，则x20，则不等式f（x2）f（x）等价为，2（x2）ax2+x，即ax243x，则a，设h（x）4（）2，0x2，则h（x），此时a，若x2，则x20，则f（x2）f（x）等价为，a（x2）2+（x2）ax2+x，即4a（1x）2，x2，x2，1x1，则不等式等价，4a即2a则g（x）在x2时，为增函数，g（x）g（2）1，即2a1，则a，故a的最大值为，方法2：作出函数f（x）和f（x2）的图象，当a0时，f（x2）f（x）对一切xR不恒成立，当a0时，f（x）2x，x0，f（x2）2（x2），则f（x2过定点
21、（2，0），当x0时，f（x）ax2+x的两个零点为x0和x，要使不等式f（x2）f（x）对一切xR恒成立，则只需要2，得a，即a的最大值为，故答案为：【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可三解答题（共7小题）17已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（）求角A的大小；（）若a2，D为BC的中点，求ABC的面积【分析】（）由已知及三角形的面积公式可得，结合正余弦定理进行化简可求A（）由ADB+ADC，可得cosADC+cosADB0，然后结合余弦定理可求bc，然后代入三角形的面积公式可求【解答】解：（）依题意得，
22、由正弦定理得，abca（b2+c2a2），即bcb2+c2a2，由余弦定理得，又因为A（0，），所以 （6分）（）ADB+ADC，cosADC+cosADB0，又b2+c22bccosAa2，b2+c2bc4，（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用18手机运动计步已经成为一种新时尚某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于150
23、00的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170的概率【分析】（1）由频率和为1，列方程求出a的值，再利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（2）由频率样本容量求出对应的频数即可；（3）根据分层抽样原理抽取6人，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由题意，得0.00220+0.00620+0.00820+a20+0.01020+0.00820+0.00220+0.002201，解得a0.012；设中位数为110+x，则0.00220+0.00620+0.00820+0.012x0.5，解得x15，
24、所以中位数是125；（2）由200（0.00220+0.00620+0.00820+0.01220）112，所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人；（3）在区间（150，170中有2000.0082032人，在区间（170，190中有2000.002208人，在区间（190，210中有2000.002208人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170中抽取4人，（170，190中抽取1人，（190，210中抽取1人；设从（150，170中抽取职工为a、b、c、d，从（170，190中抽取职工为E，从（190，210中抽取职工为F，则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、a
25、E、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间（150，170的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况，所以P；所以两人均来自区间（150，170的概率为【点评】本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1；（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值【分析】（1）连结AC1，BC1，推导出EFBC1，由此能证明EF平面BCC1B1（2）以A1为原点，建立空间直角坐
26、标系，利用向量法能求出B1F与平面AEF所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：如图，连结AC1，BC1，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，E为AC1的中点，F为AB的中点，EFBC1，EF平面BCC1B1，BC1BCC1B1，EF平面BCC1B1；（2）解：以A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F（0，2，6），（0，2，6），（2，0，3），（0，2，0），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取x3，得（3，0，2），设B1F与平面AEF所成角为，则B1F与平面AEF所成角的正弦值为：sin【点评】本题考查线面平行的证明，
27、考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的动直线I与椭圆C交于A、B两点，点S（，0）在直线l上，求证无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）【分析】（1）根据题意，列式即可得a，c1，根据b2a2c21，进而解得椭圆方程；（2）根据题意，可得直线l的方程为：yk（x+），联立直线方程与椭圆方程，通过0，进而证明无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）【解答】解：（1）由题可知，解得，b2a2
28、c21，椭圆C的方程为：+x21（2）证明：由题，直线l的方程为：yk（x+），设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入椭圆方程+x21，整理得（k2+2）x2+k2x+0点S（，0）在椭圆内，此方程必有两个实根，（x11，y1）（x21，y2）（x11）（x21）+k（x1+）k（x2+）（k2+1）x1x2+（k23）（x1+x2）+（k2+9）（k2+1）（k218）2k2（k23）+（k2+9）（k2+2）0，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，向量法与椭圆的结合应用，考查学生转化的思想与计算能力，属于综合题21设函数f（x）lnxax2+a
29、（aR）（1）讨论f（x）单调性；（2）若；对于任意的x（1，+），使得f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求导，分a0及a0两种情况讨论即可；（2）构造函数，依题意，h（x）0在x（1，+）恒成立，求导利用导数转化求解即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），当a0时，12ax20，f（x）0，故f（x）在（0，+）上递增，当a0时，令f（x）0，解得，易知，当时，f（x）0，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减；（2）f（x）g（x）恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，h（1）0，h（x）的定义域为（1，+），若h（1）0，则必存在x0（1，+），使得
30、h（x0）h（1）0，不合题意，必须h（1）2a10，解得，令，k（x）在（1，+）递增，k（x）k（1）0，故h（x）0满足题意，实数a的取值范围为【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题22在直角坐标系a中，点P（1，0），直线l的参数方程是（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2+8cos30（）求圆C的直角坐标系下的标准方程；（）已知l与圆C交于A，B两点，且，求l的普通方程【分析】（）根据xcos，ysin，2x2+y2代入圆C的极坐标方程，从而求出圆的标准方程即可；（）将直线代入
31、圆的方程，结合韦达定理求出l的标准方程即可【解答】解：（）将xcos，ysin，2x2+y2代入圆C的极坐标方程：2+8cos30，得x2+y2+8x30，标准方程为（x+4）2+y219（4分）（）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x+4）2+y219中，化简得t2+10tcos+60，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理知t1+t210cos，t1t2，t1，t2同号，又，由可知或，解得，l的普通方程为（10分）【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的转化，考查二次函数的性质，是一道中档题23已知函数f（x）|x1|+m|x+2|（1）m2时，
32、求不等式f（x）5的解集；（2）若函数f（x）的图象恒在直线yx的图象的上方（无公共点），求实数m的取值范围【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，转化求解即可（2）由题意知|x1|+m|x+2|x恒成立，通过x与2的大小比较，通过分离变量，求解表达式的最值即可【解答】解：（1）f（x）5，即|x1|+2|x+2|5，当x2时，x+12x45，解得，当2x1时，1x+2x+45，解得x0，0x1当x1时，x1+2x+45，解得，x1综上所述，不等式f（x）5的解集为（2）由题意知|x1|+m|x+2|x恒成立，当x2时，x+1mx2mx，变形得恒成立，m2（7分）当x2时，m可以取任意实数；当2x1时，1x+mx+2mx，变形得恒成立，当x1时，x1+mx+2mx，变形得，综上所述，实数m的取值范围为【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查计算能力- 22 - 版权所有高考资源网