1、高三学分认定数学试题一、单项选择题(本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别解出集合A、B，利用集合基本运算求交集即可.【详解】，故选：C.2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数【详解】，故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题3. 设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A
2、【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 设是等差数列（）的前项和，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，.故选：C5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对利用二倍角公式化简即可求值.【详解】.故选：B6. 如图所示，在
3、正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为所求角，在中求解.【详解】连结， 因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以，所以与所成的角为，而为等边三角形，所以.故选：C【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异
4、面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角7. 已知点是边长为的正方形的内切圆上一动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立坐标系如图所示，设，利用坐标求出，即可根据三角函数的性质求出范围.【详解】建立坐标系如图所示，设，其中,易知，.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查数量积范围的求解，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，将数量积的运算转化为坐标运算，将M设为更便于利用三角函数的性质求范围，这也是解决几何与向量结合的问题中常用的方法.8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的半径为（ ）A
5、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，利用正弦定理求得其所外接圆半径为然后根据截面和球心的距离等于球半径的一半，由求解.【详解】因为，所以的外接圆半径为设球半径为，则，所以.故选：B二、多项选择题(本题共小题，每小题分，共分全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分)9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A. B. 若，则的最小值为C. 将图象向左平移个单位得到的图象D. 若函数在单调递增，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由题可得,则可求得，然后利用三角函数的性质即可判断.【详解】因为直线是的对称轴,所以,则,当时,则，故A正确；对于B，若,，故B正确；对于C，
6、故C错误；对于D，因为在单调递增，在递减，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数性质，解题的关键是根据直线是的对称轴，得出，求得.10. 下列不等式正确的是（ ）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】ABC【解析】【分析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A：设，则，令，解得，当时函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在时，函数取得最小值，故当时，故A正确；对于B：设，所以，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；对于C：设，所以，令
7、，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，（1），所以当时，故C正确；对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，所以时，成立，时，故D错误故选：ABC11. 定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，下面关于的判断正确的是（ ）A. 是函数的最小值B. 的图像关于点对称C. 在上是增函数D. 的图像关于直线对称.【答案】ABD【解析】【分析】A，可判断；B，由偶函数的定义和条件可判断；C，利用在上是减函数、是偶函数、周期函数可判断；D，,可判断.【详解】A，,，是周期为的周期函数，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，所以是函数的最小值，正确；B，由，所以关于点中
8、心对称，正确；C，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，是周期为的周期函数，所以在上是减函数，错误；D，,，的图像关于直线对称，正确.故选：ABD.【点睛】对于抽象函数，要灵活掌握并运用函数的图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.12. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A. 在棱上存在点，使平面B. 异面直线与所成的角为C. 二面角的大小为D. 平面【答案】ABC【解析】【分析】取的中点，连接，证明平面
9、可判断AB；证明平面，,，可求出是二面角的平面角求出角的大小可判断C；假设平面，则，推出平面，与平面矛盾可判断D.【详解】如图，取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故A，B正确；对于C，平面平面，平面，,，是二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为，故C正确；对于D，假设平面，则，又依题意平面平面，则平面，故，而BD，BM相交，且在平面ABCD内，故平面，与平面矛盾，因此与平面不垂直，故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面垂直的判定，异面直线夹角及二面角的求解，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于一些证明，有时
10、也可以考虑反证法，本题综合性较强.三、填空题(本题共小题，每小题分，共分把答案填在题中横线上)13. 已知，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_【答案】5【解析】【分析】先利用基本不等式求得的最小值是9，然后将不等式对恒成立，转化为对任意实数恒成立求解.【详解】，当且仅当，即时，取等号，因为不等式对恒成立，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，.故答案为：514. 已知数列的前项和为，且，则_【答案】【解析】【分析】求出的值， 推导出数列是从第二项开始成以为公比的等比数列，由此可求得的值.【详解】当时，；当时， 由可得，两式相减得，即，所以，数列是从第二项开始成以为公比的
11、等比数列，.故答案为：.【点睛】给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.15. 在中，角所对的边分别为,若的周长为，且，则的面积为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，再根据三角形的周长求出、，再利用余弦定理求出，即可求出，最后利用面积公式计算可得；【详解】解：由得，设则，所以，所以，所以，所以，所以的面积为.故答案为：16. 已知函数在上存在唯一零点，则下列说法中正确的是_.（请将所行正确的序号填在梭格上）；.【答案】【解析】【分析】将问题转化为的根为，令，利用导数判断出函数的单调性，从而可得，代入得，令
12、，利用导数判断函数的单调性，可判断.【详解】由题意知有唯一解，即的根为.令，令得，当时，有唯一解，满足，故在上单调递减，上单调递增.又因为，因此，即，即，整理可得故.另外，令，故在上单调递增，故错误.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了转化与化归的思想，属于中档题.四解答题：共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值；（3）若与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；（
13、3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.【详解】因为，（1）若，则，解得；（2）若，则，解得；（3）若与夹角为锐角，则，且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.18. 已知数列是公差为的等差数列，它的前项和为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式；（2）求出，即可得，利用裂项相消法可求解.【详解】（1）数列是公差为的等差数列，且成等比数列成等比数列，则，解得，；（2）由（1）可得，因此.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是
14、公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.19. 已知：在中，内角的对边分别为,且（1）求角；（2）设，求周长的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理，将条件等式化边为角，再由三角恒等变换化简，即可求出角；（2）要求周长范围，即求范围，由边和角，结合正弦定理，将边化成角，再把用表示，由三角恒等变换把化为关于的正弦型函数，根据正弦函数的性质，即可求出结论.【详解】（1）由正弦定理得，即，（2），又，周长取值范围是【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及三角函数性质的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.20. 已知在四棱
15、柱中，底面为菱形，为的中点，在平面上的投影为直线与的交点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接、，推导出平面，可得出，进而可得出；（2）连接，推导出四边形为平行四边形，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）四棱柱中，底面为菱形，连接、，则，在四棱柱中，且，则四边形为平行四边形，由在平面上的投影为直线与的交点，可得平面，又平面平面，则平面，平面，则，平面，平面，；（2）连接，即，又为的中点，则，在四棱柱中，四边形为平行四边形，则且，且，所以四边
16、形为平行四边形，平面，平面，以为原点，在平面中过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、，由于，设平面的一个法向量，由，令，得，设直线与平面所成的角为，则.【点睛】求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量、的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.21. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本
17、的倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）时，观光专线的修建总成本最低，理由见解析.【解析】【分析】（1）先由题意得到，所以，得出观光专线的总长度，再由导数的方法判定其单调性，即可证明结论成立；（2）设翻新道路单位成本为，总成本为，由（1），根据题中条件，得到，对其求导，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度，因当时，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，总成本为，由题意可得，令，得，因为，所以，当时，当时，.所以，当时，最小.故当时，观光专线的修建总成
18、本最低.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般思路：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（2）由函数在给定区间的单调性，即可求出最值.22. （1）设，证明：；（2）若函数，使，请证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）不等式等价于，令可得，通过导数求出其单调性，即可证明；（2）方程等价于，设，可得在上递增，则得，进而得出，再利用（1）中结论即得证.【详解】（1），所以，要证明只需证明，即证明，设则，在单调递减，命题得证.（2）存在,使，即，设，则，在上递增，则,即，即，由（1）可得，可得，.【点睛】关键点睛：第一问考查不等式证明，解题的关键是将不等式等价为，利用导数求出的单调性进行证明；第二问的方程等价于，通过的单调性得出，得出，利用（1）中结论求解.
