1、3.3.1 抛物线的标准方程第3章内容索引0102基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升03学以致用随堂检测全达标课标要求1.掌握抛物线的定义及其标准方程;2.能用抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.基础落实必备知识全过关知识点1抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)距离的点的轨迹叫作抛物线,点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.名师点睛定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F,叫作抛物线的焦点;一条定直线l,叫作抛物线的准线;一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.相等焦点准线过关自诊1.在抛物线的定义中,为什么要注明Fl?提
2、示 若点F在直线l上,那么平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.2.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆 B.抛物线C.直线D.双曲线答案 B解析 由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.知识点2抛物线的标准方程y2=-2px 名师点睛1.标准方程特征:等号一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一变量的一次项;抛物线的标准方程中p的几何意义是焦点到准线的距离,因此p是一个正数.2.根据抛物线方程确定焦点的位置的方法:若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若
3、系数是负的,则焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,则焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)抛物线可以看作是双曲线的一支.()(2)根据抛物线的定义求抛物线的方程时,由于所建立的直角坐标系不同,抛物线的方程也不同.()(3)若抛物线的方程为y=ax2(a0),则抛物线的焦点在x轴上.()2.二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗?提示 不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时,可以看作是二次函数的图象;当开口向左或向右时,不能看作是二次
4、函数的图象.重难探究能力素养全提升探究点一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程【例1】求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2.分析 先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.规律方法根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程的方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p0.变式训练1指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程,并说明抛物线开口方向.(1)x2-4y=0;(2)x=ay2(a0).解(1)抛物线x2-4
5、y=0的标准形式为x2=4y,p=2.抛物线的焦点在y轴的正半轴上,焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1,抛物线开口向上.探究点二求抛物线的标准方程【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)准线方程为y=5;(2)焦点到准线的距离为 ;(3)过点A(2,3).分析 由题意确定方程形式,求出p,写出抛物线的标准方程或设出抛物线的标准方程,代入点的坐标求参数,写出抛物线的标准方程.规律方法用待定系数法求抛物线标准方程的步骤提醒求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)明确开口方向与方程间的对应关系;(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以避免分类讨论;(3
6、)注意p的几何意义.变式训练2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点为直线3x-2y-6=0与坐标轴的交点;(2)过点(3,-4).解(1)对于直线方程3x-2y-6=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=2.则抛物线的焦点为(0,-3)或(2,0).探究点三抛物线定义的应用角度1轨迹问题【例3】设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆答案 A解析 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛
7、物线.规律方法利用抛物线的定义求轨迹求轨迹问题中,若动点满足抛物线的定义,可直接利用定义写出抛物线的标准方程.变式训练3已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.解 由题意知,圆P的圆心到点(-2,0)的距离比到直线x=1的距离大1,故圆P的圆心到点(-2,0)的距离和到直线x=2的距离相等,所以点P的轨迹为抛物线,A(-2,0)为焦点,直线x=2为准线,所以=2,即p=4.所以点P的轨迹方程为y2=-8x.角度2最值问题【例4】设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P
8、到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.分析 由于抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,利用抛物线的定义,将点P到直线x=-1的距离转化为|PF|,或将|PF|转化为点P到准线的距离求解.解(1)抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为点P到准线x=-1的距离等于点P到F(1,0)的距离,所以问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.连接AF,如图1所示.显然当点P是AF与抛物线的交点时,所求距离之和最小,最小值为|AF|=.图1(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等
9、.如图2所示,过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1.由题意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值为4.图2 规律方法与抛物线有关的最值问题的解法求圆锥曲线上到在曲线两侧的两定点的距离之和最小的点的位置时,或由圆锥曲线定义作线段的等量转换后可以转化为此类问题时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点.变式训练4若点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.本节要点归纳1.知识清单:
10、(1)抛物线的定义;(2)抛物线的标准方程.2.方法归纳:利用抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程;待定系数法、定义法求抛物线的标准方程;定义转化法求解与抛物线有关的最值问题.3.常见误区:抛物线的定义强调定点不在准线上;根据抛物线的方程求抛物线的焦点坐标、准线方程需要将抛物线方程化为标准形式;利用定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离.学以致用随堂检测全达标答案 C 2.(2022江苏海安高二期中)下列关于抛物线y=2x2的描述正确的是()答案 A答案 C 4.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为.答案 2解析 因为抛物线方程为y2=4x,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2.5.焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是.答案 x2=20y解析 由5=得p=10,且焦点在y轴正半轴上,故抛物线的标准方程为x2=20y.6.若抛物线的焦点在x轴上,点P(-5,2 )到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口向左,其标准方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口向左,其标准方程为y2=-36x.综上,抛物线的标准方程为y2=-4x或y2=-36x.
