1、2.6.2 圆与圆的位置关系第2章内容索引0102基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升03学以致用随堂检测全达标课标要求1.理解并掌握圆与圆的位置关系及判断方法;2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系.基础落实必备知识全过关知识点圆与圆位置关系的判定(1)几何法:若两圆的半径分别是r1,r2(r1r2),两圆圆心的距离为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:dr1+r2 d=r1+r2 r1-r2d0 d0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系满足下列条件:(1)相切;(2)相交
2、;(3)外离;(4)内含.分析 将所给圆的方程化为圆的标准方程,求出两圆的圆心与半径后结合两圆的位置关系列式求解.解 圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3|C1C2|5,即3a5,即a5时,两圆外离.(4)当|C1C2|3,即0a3时,两圆内含.规律方法判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法有代数法与几何法两种,我们常用几何法而不
3、用代数法.因为用代数法时,若两圆方程消元后得到的方程只有一个解时,无法直接确定两圆是外切还是内切,因此常用几何法判断,其方法如下:(1)将圆的方程化为标准式,求出圆心和半径;(2)计算圆心距、半径和、半径差的绝对值;(3)利用圆心距、半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系.变式训练1已知两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的方程,判断两圆的位置关系.探究点二两圆相交问题【例2】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)证明两圆相交;(2)求两圆的公共弦所在的直线方程以及公共弦长.分析 将所给圆的方程化为标准式,求出两
4、圆的圆心坐标与半径,通过判断两圆的圆心距与半径和、半径差的关系证明两圆相交,而公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度需要先将两方程相减求得公共弦方程,结合公共弦方程求弦长.(1)证明两圆方程配方化为标准方程可得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10.r1-r2|C1C2|0),由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,将圆x2+y2-2x=0化为(x-1)2+y2=1,得该圆圆心为(1,0),半径为1,规律方法求解两圆相切问题的两个步骤:(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想,即将两圆
5、相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).变式训练3(1)求以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的半径;(2)若圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,求m的值.解(1)设所求圆的半径为r,则,所以r=3或r=13.即所求圆的半径为3或13.(2)由题可得圆C1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆C2的圆心为(-1,m),半径为r2=2.由题意得|C1C2|=5,即(m+1)2+(-2-m)2=25,解得m=2或m=-5.本节要点归纳1.知识清单:圆与圆的位置关系2.方法归纳:利用几何
6、法、代数法判断圆与圆的位置关系、求两圆的公共弦长及两圆相切问题,利用代数法求公共弦所在直线的方程,利用圆系方程求解过两圆交点的圆的方程.3.常见误区:利用代数法判断两圆位置关系时,将两圆方程联立后的方程组,消元后,若方程只有一个解,不能判断两圆是内切还是外切;若所得方程无解,则不能判断两圆是内含还是外离,此时需要结合图形判断.利用圆系方程求圆的方程时,不要忘记检验与参数结合的圆是否满足题意.求解两圆相切问题,应明确是内切还是外切.学以致用随堂检测全达标1.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切答案 C 2.(2022江西景
7、德镇一中高一期中)已知圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0,C2:x2+y2-4x+2y+4=0,则两圆的位置关系为()A.两圆内切B.两圆相交C.两圆外切D.两圆相离答案 A解析 圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0的圆心为C1(-1,3),半径r1=6,圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的圆心为C2(2,-1),半径r2=1,又r1-r2=5,|C1C2|=r2-r1=5,圆C1与C2内切.故选A.3.圆心为C(2,0)的圆与圆x2+y2+4x-6y+4=0外切,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x+2=0D.x2+y2+4
8、x=0答案 A4.(2022四川凉山州高二期末)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+(y-2)2=r2(r0),若圆C1和C2有公共点,则r的取值范围是()A.(0,1B.(0,3C.1,3D.1,+)答案 C解析 若圆C1和C2有公共点时,两圆相切或相交,圆心C1(0,0),半径R=1,圆心C2(0,2),半径为r,则|C1C2|=2.若两圆有公共点,则满足r-R|C1C2|R+r,即r-121+r,得1r3.故选C.5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦长为2 ,则a=.答案 16.已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.解 设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
