1、专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)函数是中学数学的一个重要概念，它描述了自然界中量与量之间的依存关系，从量的方面刻画了宏观世界的运动变化、相互联系的规律，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画变量是函数的基础，对应(映射)是函数的本质函数一直是高考的热点、重点内容它渗透在数学的各部分内容中专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专
2、题复习 数学(新课标版)函数与方程思想是高中数学的基本思想方法之一，在解题中有着广泛的应用，是历来高考的重点，高考中有关方程的试题单独命题较少最近几年函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)1函数与方程的关系函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密
3、切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究2和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)函数f(x)(abx)n(nN*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题
4、(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的加法加以解决，建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例1(2011泰安市模拟题)若关于x的方程cos2x2cosxm0有实数根，则实数m的取值范围是_分析 将方程变形为mcos2x2cosx，则当方程有
5、实数根时，cos2x2cosx的取值范围就是m的取值范围答案 3，32专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 原方程可化为 mcos2x2cosx.令 f(x)cos2x2cosx，则 f(x)2cos2x12cosx2cosx12232，由于1cosx1，所以当 cosx12时，f(x)取得最大值32，专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)当 cosx1 时，f(x)取得最小值3，故函数 f(x)的值域为3，32，即 m3，32.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 本题若令cosxt，则可通过换元法将原方程化为关于
6、t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)答案 A若关于 x 的方程 9x(4a)3x40 有大于 1 的解，则实数 a 的取值范围是()Aa253 Ba8Ca1，t3，g(t)g(3)133，3x43x 133，即 4a133，a2m4x 恒成立，求 x 的取值范围分析 本题可用参变分离或看作关于m的一次函数处理专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 t 2，8，12log2t3，12m3.解法一：不等式可化为：(2x)mx24x4.即
7、(2x)m(2x)2，当 x2 时，上式不成立；当 x2 时，若 x2，则 m3 即 x2，则 m2x，2x32，又 x2，x2.综上可得x|x2专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解法二：原不等式可化为(x2)m(x2)20，令 f(m)(x2)m(x2)2，m12，3时，有 f(m)的最小值大于 0，x2 时，不成立专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)x2，f120，f30，即x2，12x2x220，3x2x220，解得 x2.综上可得 x 的取值范围是x|x2专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析 应用函数与方程思
8、想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2011东莞模拟)对于满足0p4的实数p，使x2px4xp3恒成立的x的取值范围是_答案(，1)(3，)解析 x2px4xp3 对于 0p4 恒成立可以变形为 x24x3p(x1)0 对于 0p4 恒成立，所以一次函数 f(p)(x1)px24x3 在区间0,4上的最小值大于 0，即x24
9、x30 x210，所以 x 的取值范围是(，1)(3，).专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)例 3 求正整数 a 的最大值，使不等式 1n1 1n213n1a7 对一切正整数 n 都成立分析 要求正整数 a 的最大值，应先求 a 的取值范围，关键是求出代数式1n1 1n213n1的最小值，可将其视为关于 n 的函数，通过单调性求解专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析 令 f(n)1n1 1n213n1(nN*)，对任意的 nN*，f(n1)f(n)13n213n313n4 1n123n13n23n40，专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题
10、复习 数学(新课标版)所以 f(n)在 N*上是增函数又 f(1)1312，对一切正整数 n，f(n)a7 都成立的充要条件是1312a7，所以 a0 时，f(c)221c 21c22 2.当 1c0.由a2a716，得2a17d16.由a3a655，得(a12d)(a15d)55.由得2a1167d，将其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220，d24.又d0，d2，代入得a11.an1(n1)22n1.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解法二：由等差数列的性质得 a2a7a3a6，a3a655，a3a616.由韦达定理知，a3，a6 是方程 x2
11、16x550 的根，解方程得 x5 或 x11.设公差为 d，则由 a6a33d，得 da6a33.d0，a35，a611，d11532，a1a32d541.故 an2n1.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)解法一：当 n1 时，a1b12，b12.当 n2 时，anb12 b222b323bn12n1bn2n，an1b12 b222b323bn12n1，两式相减得 anan1bn2n，bn2n1.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)因此 bn2，n1，2n1，n2.当 n1 时，S1b12；当 n2 时，Snb1b2b3bn2b212n
12、1122n26.当 n1 时上式也成立，当 n 为正整数时都有 Sn2n26.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解法二：令 cnbn2n，则有 anc1c2cn，an1c1c2cn1，两式相减得 an1ancn1.由(1)得 a11，12，cn2(n2)，即当 n2 时，bn2n1，又当 n1 时，b12a12，bn2，n1，2n1，n2.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)于是 Snb1b2b3bn223242n122223242n1422n112142n26，即 Sn2n26.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)评析
13、 数列可以看作是定义在正整数集(或它的子集)上的函数，所以用函数的观点处理数列问题就显得十分重要，在等差数列、等比数列中有关通项及前n项和的问题都可以看成n的函数，用函数的方法解决专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)已知数列an满足1anan2 n(nN*)，且 an0.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an是否存在最大项？若存在，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)解析(1)由 1anan2 n得 a2n2 nan10.由一元二次方程求根公式得an2 n 4n42 n n1.因为 an0，所以 an n1 n(nN*)专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)(2)由 an n1 n知，数列an的各项是函数 f(x)x1 x(x0)的函数值，因为 f(x)12 x1 12 x，当 x0 时，f(x)a2a3anan1，所以数列an有最大项，最大项为首项 a1 21.专题九 数学思想方法 走向高考二轮专题复习 数学(新课标版)