2022-2023学年高中数学湘教版2019选择性必修第一册同步练习 第1章 1-4　数学归纳法 WORD版含解析.docx

1、*1.4数学归纳法A级必备知识基础练1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN+),第一步验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=42.对于不等式n2+2nn+2(nN+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+21+2,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即k2+2kk+2,那么,当n=k+1时,(k+1)2+2(k+1)=k2+4k+31134(nN+)”时,由n=k到n=k+1,不等式左边的变化是()A.增加12(k+1)一项B.增加12k+1和12k+2两项C.增加12k+1和12k+2两项,同时减少1k+1一项D.以上结论都不正确6.用数学归纳法证明

2、下列各式:(1)12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)2(nN+);(2)12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).B级关键能力提升练7.用数学归纳法证明1+122+132+1(2n-1)22-12n-1(n2,nN+)时,第一步需要证明()A.12-12-1B.1+1222-122-1C.1+122+1322-122-1D.1+122+132+1422-122-18.在数列an中,已知a1=1,当n2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是()A.an=3n-2B.an=n2C.an=3

3、n-1D.an=4n-39.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+1410.设数列an的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=.11.用数学归纳法证明不等式:1+12+13+1n0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.参考答案

4、*1.4数学归纳法1.C由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.2.Dn=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有使用假设,只是通过放缩法直接证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D.3.B本题证明了当n=1,3,5,7,时,命题成立,即对一切正奇数命题成立.4.B由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+2k(kN+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-k+(k+1)+(k+2)+2k=3(k+1).故选B.5.C当n=k时,不等式左边为1k+1+1k+2+1k+k,当n=

5、k+1时,不等式左边为1k+2+1k+3+1(k+1)+(k-1)+1(k+1)+k+1(k+1)+(k+1),故不等式左边的变化是增加12k+1和12k+2两项,同时减少1k+1一项.6.证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)01(1+1)2=1,左边=右边,等式成立.假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1k(k+1)2,那么,当n=k+1时,12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)(k+1)-k2=(-1)(k+1)-1(k+1

6、)(k+1)+12.这表明,当n=k+1时,等式也成立.根据和可以断定,对于任何nN+,等式都成立.(2)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)2(k+1)+1.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由和可以断定,等式对任何nN+都成立.7.C当n=2时,不等

7、式的两边分别是1+122+1322-122-1,故选C.8.B计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.9.D结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,n2的连续自然数,共有n2-n+1个,且f(2)=12+13+14.10.nn+1由(S1-1)2=S1S1,得S1=12,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=23,依次得S3=34,S4=45,猜想Sn=nn+1.11.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+12+13+1k2k,那么,当n=k+1时,1+

8、12+13+1k+1k+12k+1k+1=2kk+1+1k+1(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1.这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任意nN+都成立.12.(1)解当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=22-a2,解得a2=32;当n=3时,a1+a2+a3=S3=23-a3,解得a3=74;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,解得a4=158.由此猜想an=2n-12n-1(nN+).(2)证明当n=1时,a1=1,猜想成立.假设当n=k时,猜想成立,即ak=2k-12

9、k-1,那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,则2ak+1=2+ak,则ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k.这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由和可以断定,猜想an=2n-12n-1对任何正整数n都成立.13.(1)解由a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n,可得a2=2+22,a3=23+23,a4=34+24,猜想an=(n-1)n+2n.(2)证明当n=1时,a1=(1-1)+2=2,猜想成立.假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)k+2k,那么,当n=k+1时,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+(2-)2k=kk+1-k+1+2k+k+1+2k+1-2k=kk+1+2k+1=(k+1)-1k+1+2k+1.这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由和可以断定,猜想对任何正整数n都成立.